2020年7月14日至17日，第九屆國(guó)際純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)議（ICPAM 2020）在線上如期召開(kāi)，100多名與會(huì)者在12個(gè)分會(huì)場(chǎng)分享了最新的研究成果。近幾十年來(lái)，應(yīng)用數(shù)學(xué)快速發(fā)展，數(shù)學(xué)與工程技術(shù)更加密切的結(jié)合已成為數(shù)學(xué)發(fā)展的主要趨勢(shì)之一，主要發(fā)達(dá)國(guó)家都把推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展作為提高其核心競(jìng)爭(zhēng)力的戰(zhàn)略措施之一?？茖W(xué)與工程協(xié)會(huì)作為科學(xué)與工程領(lǐng)域的國(guó)際性學(xué)術(shù)組織，于2012年舉辦了第一屆國(guó)際純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)議。該會(huì)議每年舉辦1次，至今已成功舉辦9屆，匯聚了純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教授、研究人員、學(xué)者和學(xué)生，使大會(huì)成為一個(gè)分享經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)跨產(chǎn)業(yè)和學(xué)術(shù)界合作、評(píng)估全球新興技術(shù)的完美平臺(tái)，國(guó)際純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)議已日益成為科學(xué)與工程協(xié)會(huì)的重要會(huì)議之一。
2020年7月17日16∶30（希臘時(shí)間）北京大學(xué)的董朝輝博士后在主題為“數(shù)學(xué)理論與計(jì)算”的第9分會(huì)場(chǎng)作了題為“丁小平的新數(shù)—形模型與新微積分思想簡(jiǎn)介”（“A Brief Introduction to Xiaoping Ding’s New Number-figure Model and His Thoughts on New Calculus Principles”）的報(bào)告，獲得了與會(huì)學(xué)者的熱烈反響，該分會(huì)場(chǎng)由Cutberto Romero-Meléndez教授主持。
董博士在報(bào)告中介紹了丁小平在分析數(shù)學(xué)方面的主要思想：
1、微積分原理的使命：微積分方法的誕生早于微積分原理的建立，而微積分原理的使命就是要回答這一方法體系為什么正確，并優(yōu)化和發(fā)展微積分方法。遺憾的是，以柯西為首的數(shù)學(xué)家建立的現(xiàn)行微積分原理是以牛頓思想為核心而又拼湊了萊布尼茨微分的理論體系，不僅失去了微積分的簡(jiǎn)潔性，而且未能提供新的微積分方法，甚至本身邏輯上存在錯(cuò)誤——無(wú)法合理解釋微分，而且拋棄微分這一概念，對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、不定積分第二類換元法、微分方程求解原理等問(wèn)題的回答將會(huì)變得異常復(fù)雜。這樣的原理體系無(wú)法提供新的微積分方法。
2、新數(shù)—形模型的提出：丁小平從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、自然科學(xué)等幾個(gè)方面指出，現(xiàn)行微積分原理體系存在缺陷的根本原因是現(xiàn)行數(shù)—形模型的固有矛盾——在現(xiàn)行數(shù)—形模型中，由于“無(wú)窮分割”思想的濫用，使實(shí)數(shù)系成為一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)系，并導(dǎo)致測(cè)度沒(méi)有數(shù)學(xué)承擔(dān)者，進(jìn)而在構(gòu)建微積分原理時(shí)漏洞百出。科學(xué)要通過(guò)理論模型來(lái)逼近現(xiàn)實(shí)從而解釋規(guī)律，數(shù)學(xué)同樣也離不開(kāi)模型的建立。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，數(shù)和形（點(diǎn)、線、面等）都是對(duì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行歸納抽象而建立的模型，因此擇取更優(yōu)化的數(shù)—形模型是重建微積分原理的基礎(chǔ)。人類對(duì)數(shù)、形的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程，從尊崇直覺(jué)到尊崇形式邏輯是歷史的進(jìn)步，但盲目否定辯證邏輯卻會(huì)制約科學(xué)的發(fā)展。丁小平提出了蘊(yùn)含辯證思想的新數(shù)—形模型，并在新數(shù)—形模型的基礎(chǔ)上初步闡述了微分和積分的本質(zhì)及其運(yùn)算?，F(xiàn)實(shí)事物在發(fā)展過(guò)程中都有過(guò)渡狀態(tài)，抽象到數(shù)學(xué)模型中，丁小平借用黑格爾的“werden”表示“變化”，即量從無(wú)到有的過(guò)渡狀態(tài)，并以“有0” Θ表示這種量，它和傳統(tǒng)的“無(wú)0”是靜態(tài)相等而動(dòng)態(tài)不等的關(guān)系，是量的增長(zhǎng)的基本元素。每一個(gè)確定的區(qū)間都是由“巨多”（多到無(wú)法計(jì)數(shù)但又是確定的）Θ構(gòu)成的。在Θ內(nèi)又可以進(jìn)入下一層級(jí)，每一層級(jí)內(nèi)都遵循類似的規(guī)則。在新數(shù)—形模型中，測(cè)度承擔(dān)者是動(dòng)態(tài)數(shù)Θ，而不是人為捏造的違反直覺(jué)的“不可數(shù)無(wú)窮”。相較而言，康托無(wú)窮集合理論和勒貝格測(cè)度理論就顯得尚未成熟。
3、新微積分思想簡(jiǎn)介：在新數(shù)—形模型基礎(chǔ)上，丁小平還研究了函數(shù)的連續(xù)性和趨勢(shì)——現(xiàn)行體系中的極限就是趨勢(shì)的結(jié)果；并初步構(gòu)建了微積分體系，以Θ為邏輯起點(diǎn)定義微分，而積分就是微分求和，定積分和不定積分的區(qū)別只在于是否確定上下限；微分之商定義為動(dòng)態(tài)導(dǎo)數(shù)，與傳統(tǒng)意義下的導(dǎo)數(shù)靜態(tài)相等。這樣的結(jié)構(gòu)體系是和萊布尼茨的思想相一致的。在新微積分原理中，微分就是增量的精確值。積分就是微分的累加，不涉及近似和極限問(wèn)題。最后董朝輝呼吁數(shù)學(xué)同行和一切有識(shí)之士重視數(shù)學(xué)新發(fā)展，一起推動(dòng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域向新階段邁進(jìn)！報(bào)告結(jié)束后，董朝輝回答了參會(huì)人員的提問(wèn)，會(huì)場(chǎng)氣氛熱烈。正如愛(ài)因斯坦的相對(duì)論引發(fā)物理界重新審視牛頓時(shí)空觀一樣，丁小平的新數(shù)—形模型也提供了看待微積分的新觀點(diǎn)，這項(xiàng)工作是革命性和開(kāi)創(chuàng)性的。科學(xué)的新微積分原理的建立，必將導(dǎo)致更多的微積分方法的揭示，也將直接促使微分方程和微分幾何全面發(fā)展，間接促進(jìn)數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展。新數(shù)—形模型的建立，將使數(shù)學(xué)在一個(gè)新的基礎(chǔ)上發(fā)生全面革命，推動(dòng)基礎(chǔ)科學(xué)發(fā)生根本變革，比如徹底實(shí)現(xiàn)虛位移原理的科學(xué)化，從而使一般力學(xué)建立在更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)。步入20世紀(jì)第2個(gè)20年，我國(guó)對(duì)于數(shù)學(xué)的重視達(dá)到了前所未有的程度。國(guó)際振動(dòng)問(wèn)題權(quán)威、清華大學(xué)丁文鏡教授說(shuō)：“丁小平在數(shù)學(xué)科學(xué)中所做的工作屬于人類重大科學(xué)創(chuàng)建，其中在數(shù)—形模型和新微積分原理方面所做的工作屬于重大原始創(chuàng)新?！毙碌牟淮嬖谶壿嬪e(cuò)誤的微積分原理的建立，其難度不低于諾貝爾獎(jiǎng)級(jí)的科研成果，如果這項(xiàng)研究成果的結(jié)論成立，無(wú)疑將是人類科學(xué)界的重大原始創(chuàng)新，也將會(huì)給中華民族再添輝煌！
（本文作者系北京大學(xué)博士后）
轉(zhuǎn)載自《甘肅科技報(bào)》2021年4月16日刊
