二次型歸納Ⅱ

7.28已知對稱矩陣A,B正定，A-B也正定，求證：B^{-1}-A^{-1}正定
提示：同時對角化

7.30已知A,B為對稱矩陣，求證：Tr(AB)^2\leq Tr(A^2B^2)
提示：Tr(AB-BA)(AB-BA)^T\geq 0and Tr(AB)=Tr(BA)

7.31設A是可逆的實對稱n階方陣，B是實反對稱n階方陣，且有AB=BA，求證：A+B可逆。
*提示：法一：可知AA^T正定，BB^T=-B^2半正定，故
AA^T+BB^T=A^2-B^2
正定，于是(A+B)(A+B)^T=(A+B)(A-B)=A^2-B^2必正定

法二：反證：否則方程(A+B)X=0有非零解，設為y那么
0=y^T(A+B)^T(A+B)y=y^T(A-B)(A+B)y=y^T(A^2-B^2)y>0

法三：反證：若有非零解y，由A可逆有0=y^TA^T(A+B)y=y^TA^TAy+y^TA^TBy
而(y^TA^TBy)^T=y^TB^TAy=-y^TBAy=-y^TA^TBy
即y^TA^TBy=0從而0=y^TA^TAy=(Ay)^T(Ay)

法四：只需證明A^{-1}(A+B)=E+A^{-1}B可逆即可，由AB=BA有A^{-1}B=B^{-1}A于是
(A^{-1}B)^T=B^T(A^T)^{-1}=-BA^{-1}=-A^{-1}B
即A^{-1}B是實反對稱矩陣，其矩陣特征值為0或純虛數，從而E+A^{-1}B的特征值都不是0

法五：同時對角化*

7.34設A是一個n階矩陣，Tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}稱為矩陣的跡
(1)證明相似變換下的矩陣跡不變
(2)設A,B為對稱半正定矩陣，證明Tr(AB)\geq 0
(3)設A,B為對稱半正定矩陣，且Tr(AB)=0則AB=0
提示：半正定矩陣如果對角線元素為0，那么那一行一列元素全為0。

7.41設Q為n階對稱正定矩陣，x為n維實向量，證明：
0\leq x^T(Q+xx^T)^{-1}x<1
提示：法一：存在可逆矩陣P使得Q=PP^T,xx^T=Pdiag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)P^T，令P^{-1}x=(y_1,\ldots,y_n)^T可得P^{-1}x=(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})^T
法二：若Q=PP^T構造\left(\begin{array}{cc} P^T&x\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} P^T&0\\ x^T&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A&x\\ x^T&1\end{array}\right)
法三：利用下一問

7.42設A\in\mathbb{F}^{n\times n}為n階可逆矩陣，u,v\in\mathbb{F}^n是列向量，若1+v^TA^{-1}u\not=0則A+uv^T可逆，且(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}

7.44設A,B為可換的n階實對稱矩陣，且A,B,A+B都可逆，證明：(A+B)^{-1}\not=A^{-1}+B^{-1}
提示：同時對角化

7.45將n元實二次型\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|i-j|x_ix_j化為標準形，并寫出所用的非退化線性替換。

7.46設n階對稱方陣A是正定的，去掉方陣A的第i行第i列的子矩陣記為A_i，記Q(x)=xAx^T,x\in\mathbb{R^n}證明Q(x)在x_i=1條件下的最小值是\frac{detA}{detA_i}，其中x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)
提示：先通過初等變換使得PAP^T=\left(\begin{array}{cc} A_i&\beta\\ \beta^T&a_{ii}\end{array}\right)其中\beta^T=(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{i,i-1},a_{i,i+1},\ldots,a_{in})則xP=(y,x_i)于是0\leq Q(x)=(y,x_i)\left(\begin{array}{cc} A_i&\beta\\ \beta^T&a_{ii}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y^T\\ x_i\end{array}\right)=yA_iy^T+2x_i\beta^Ty^T+a_{ii}x_i^2令x_i=1求關于y的導數，并令其為0

7.47設A是數域\mathbb{F}上的n階矩陣，已知對任何的n\times 1列向量X,Y,X^TAY=0的充分必要條件為Y^TAX=0證明：A要么是對稱矩陣要么是反對稱矩陣
待解決

7.48設A是n階正定矩陣，\alpha,\beta是任意的n維實列向量，證明：(\alpha^T\beta)^2\leq (\alpha^TA\alpha)(\beta^TA^{-1}\beta)
提示：對角化后使用柯西不等式

7.49設A,B是實數域上的n級方陣，且AB+BA=0證明：如果A是對稱陣且半正定，則有AB=BA=0
提示：法一：對角化
法二：W=\{Bx|x\in\mathbb{R}^n\}是\mathbb{R}^n的一個子空間，要證明AB=0只需證明\forall y\in W,Ay=0

7.50設A=\left(\begin{array}{ccc} 4&2&2\\ 2&4&2\\ 2&2&4\end{array}\right)證明：A正定，求出所有的實系數多項式f(x)，使得f(A)正定
提示：f(x)=(x-2)(x-8)q(x)+\frac{x-2}{8-2}a+\frac{x-8}{2-8}b其中q(x)為任意實系數多項式,a,b為任意正數

7.51正定矩陣A非對角線上的元小于等于0，求證A^{-1}非對角線上的元素大于等于0.
提示：歸納法

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