2019-06-11

  • M進(jìn)制調(diào)制的最佳接收
  • MAP：最大后驗(yàn)概率
  • 一維似然函數(shù)
    • 對(duì)于一維調(diào)制，若發(fā)送星座點(diǎn)為s_i的信號(hào)s_i(t) = s_if_1(t)，則接收信號(hào)是r(t) = s_if_1(t)+ n_w(t)
    • 投影到信號(hào)空間后是r = s_i+n
      • 其中n是高斯白噪聲的投影，是均值為零，方差為\frac{N_0}{2}的高斯隨機(jī)變量。
      • 似然函數(shù)是p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_i)^2}{N_0}}
      • f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  • 二維似然函數(shù)
    • 對(duì)于二維調(diào)制，若發(fā)送星座點(diǎn)為s_i = (s_{i1},s_{i2})的信號(hào)s_i(t) = s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)，則接收信號(hào)是r(t) = s_i(t)+n_w(t)
    • 投影到信號(hào)空間后得到r(t)在該空間中的坐標(biāo)向量為r = (r_1,r_2)，其中r_ 1 = s_{i1}+n_1,r_2 = s_{i2}+n_2，其中n_1,n_2是高斯白噪聲的投影，它們是獨(dú)立同分布的零均值高斯隨機(jī)變量，方差均為\frac{N_0}{2}
  • 似然函數(shù)是
    • p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r1 })^2}{N_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r2})^2}{N_0}} = \frac{1}{\pi N_0}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}
  • 判決域
    • 判決器是一個(gè)函數(shù)映射，它將R^N中的點(diǎn)映射到集合\{ s_1,s_2,...,s_M\}。反過(guò)來(lái)看，集合\{ s_1,s_2,...,s_M\}中的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)R^N的一個(gè)子集，這樣的子集叫判決域。
    • 判決器的工作是：如果接受向量r落在星座點(diǎn)s_i的判決域D_i內(nèi)，則判決發(fā)送的是s_i
      • MAP判決域：判決域的劃分滿足，若r落入判決域D_i，則后驗(yàn)概率Pr\{s_i|r\} \geq Pr\{s_k|r\}, \forall k\neq i
    • ML決域：判決域的劃分滿足，若r落入判決域D_i，則似然概率Pr\{s_i|r\}一定是最大的，即Pr\{r|s_i \} \geq Pr\{ r|s_k \},\forall k\neq i，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，可將概率Pr\{ r|s_i \}換成概率密度。
    • 貝葉斯公式：后驗(yàn)概率Pr\{s_i|r\}、似然概率 Pr\{r|s_i\}、先驗(yàn)概率Pr\{s_i\}，三者之間的關(guān)系：Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\} Pr\{s_i\}}{Pr\{r\}}
    • 先驗(yàn)等概時(shí)，MAP = ML:如果Pr\{ s_i\} = \frac{1}{M}與s_i無(wú)關(guān)，則Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\}}{Pr\{r\}\cdot M}
  • 此時(shí)若Pr\{s_k|r\} \geq Pr\{s_{k^{'} }| r \}，必有Pr\{r|s_k \} \geq Pr\{ r|s_{k^{'} } \}，反之亦然。因此在先驗(yàn)等概的情況下，按MAP準(zhǔn)則設(shè)計(jì)ML判決域就是MAP判決域。
  • AWGN信道
    • p(r|s_i) = \prod_{k = 1}^Np(r_k|s_{ik}) = \frac{1}{(\pi N_0)^{\frac{N}{2}}}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}
    • 對(duì)于給定的r，如果某個(gè)s_i在所有s_1,s_2,...,s_M中對(duì)應(yīng)有最小的p(r|s_i)，則該s_i也一定對(duì)應(yīng)最小的\parallel r-s_i \parallel。
  • 對(duì)于AWGN信道，基于ML準(zhǔn)則的判決規(guī)則，等價(jià)于尋求在距離上最接近于接收信號(hào)矢量r的信號(hào)s_i
  • MAP準(zhǔn)則，先驗(yàn)等概 ，ML準(zhǔn)則，AWGN信道，最小距離檢測(cè)
  • AWGN下M進(jìn)制確定信號(hào)的最佳接收過(guò)程：
    • r(t)投影r = [r_1,r_2,...,r_N]檢測(cè)器（基于MAP或ML準(zhǔn)則檢測(cè)）
    • r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt,解調(diào)器
    • 匹配濾波器等效實(shí)現(xiàn)r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h_k(t-\tau)d\tau]_{t= T_s} = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)f _k(T_s-t+\tau)d\tau]_{t= T_s}
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