A good way of thinking of where the Laplace Transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.——Arthur Mattuck (MIT數(shù)學(xué)系返聘教授，原MIT數(shù)學(xué)系主任)
一個(gè)比較好的關(guān)于Laplace變換的解釋方法是從冪級(jí)數(shù)(Power Series)入手。
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵（法語(yǔ)：Pierre-Simon marquis de Laplace），法國(guó)著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他的研究工作對(duì)天體力學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)有舉足輕重的發(fā)展。他也是拉普拉斯變換和拉普拉斯方程的發(fā)現(xiàn)者，對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展具有杰出貢獻(xiàn)。
學(xué)過(guò)控制的都知道拉普拉斯變換(Laplace Transform)，但是你們是不是也有疑問(wèn)，拉普拉斯變換中的S到底是個(gè)什么鬼？皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵當(dāng)年為啥就能想出個(gè)這樣的數(shù)學(xué)變換公式？
我是自從接觸拉普拉斯變換就一直有這樣的疑問(wèn)，就感覺(jué)這種東西很強(qiáng)行，你沒(méi)有理解卻又無(wú)法拒絕。直到有一天，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟，膜拜大神！
我們知道，一個(gè)冪級(jí)數(shù)可以寫為如下形式：
(1.1)
如果將an看成一組離散的函數(shù)數(shù)列，則上式也可以寫為：
(1.2)
把a(n)看成是作為冪級(jí)數(shù)系數(shù)的一組離散函數(shù)，上式就可以看作是函數(shù)A(x)的構(gòu)造過(guò)程，即，只要輸入一個(gè){a(0),a(1),a(2),?}序列，就可以輸出一個(gè)A(x)，其中，x是輸出函數(shù)A(x)的自變量。
現(xiàn)在，舉一個(gè)例子，如果取a(n)=1，即{a(0)=1,a(1)=1,a(2)=1,?}那么我們將得到：
(1.3)
有人說(shuō)上式最后等于1/(1-x)，但這么說(shuō)其實(shí)不準(zhǔn)確，因?yàn)椴⒉皇菍?duì)于所有的x上式都成立，只有當(dāng)它是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)時(shí)才成立！而式(1.3)中x的收斂域?yàn)?-1,1)，所以式(1.3)可以改寫為：
(1.4)
再舉一個(gè)例子，如果a(n)=1/n!，則有：
(1.5)
在這個(gè)例子里，x對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立，其實(shí)上式就是e^x在x=0 處的泰勒展開(kāi)。
從上面的例子可以看出，取一個(gè)定義在正整數(shù)或非負(fù)的整數(shù)上的離散函數(shù)，然后進(jìn)行加和操作，結(jié)果卻能夠產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)函數(shù)。注意其中的離散函數(shù)an的變量為n，加和得出的結(jié)果卻是關(guān)于變量x?？傊@是冪級(jí)數(shù)的一種性質(zhì)，也屬于一種離散求和的情況。
假設(shè)讓這個(gè)求和變得連續(xù)而不是離散，即不是讓變量n=0,1,2,3…，另外定義一個(gè)變量t，并且0≤t＜∞，即t可以為[0，∞)中的任意實(shí)數(shù)。
如果想用t取替代n，顯然不能再用上面處理離散序列的辦法在所有實(shí)數(shù)上求和，而是要通過(guò)積分。即：
(1.6)
我們可以保留這種形式，但是沒(méi)有數(shù)學(xué)家喜歡這樣做，而且工程師也很少這樣做，因?yàn)楫?dāng)進(jìn)行積分和微分操作時(shí)，沒(méi)有人希望其中包含一個(gè)指數(shù)函數(shù)的底是x之類的積分或微分項(xiàng)，這讓人看起來(lái)很頭疼。而唯一方便的是自然底數(shù)e。只有e才是人們喜歡用來(lái)積分或微分的，因?yàn)?b>對(duì)以自然底數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)y=e^ax進(jìn)行積分或微分后的結(jié)果還是其本身或僅僅是本身乘以了一個(gè)系數(shù)，滿足該性質(zhì)的函數(shù)世界上僅此一家、別無(wú)分店！?。?/b>想知道e的來(lái)源請(qǐng)見(jiàn)《自然底數(shù)e怎么就“自然”了》。
因此我們將以x為底數(shù)的指數(shù)變換成為以e為底數(shù)的指數(shù)形式：
(1.7)
現(xiàn)在，我們?cè)倏催@個(gè)積分，顯然，我們寫出這個(gè)積分當(dāng)然希望其可解，或者說(shuō)收斂。畢竟這是一個(gè)從零到無(wú)窮大的廣義積分，我們需要特殊對(duì)待，只有當(dāng)x是一個(gè)小于1的數(shù)時(shí)該積分才有可能收斂，只有這樣，當(dāng)冪越來(lái)越大時(shí)，得到的數(shù)才會(huì)越來(lái)越小，所以這里要求x＜1。然后，我們還希望x為正值，否則會(huì)遇到負(fù)冪的麻煩，例如當(dāng)x=-1，t=1/2時(shí)，將得到虛數(shù)，這是我們所不愿看到的，所以要求0＜x＜1，我們這么做是為了讓積分收斂。那么在這種情況下，lnx又會(huì)是什么樣的呢？顯然，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0。
lnx這個(gè)變量看起來(lái)貌似有點(diǎn)復(fù)雜，我們何不用一個(gè)變量去代替它呢？
那么就用s吧！
現(xiàn)在令s= -lnx或-s= lnx，因?yàn)閘nx＜0，取-s= lnx的話，s就總為正數(shù)了，處理正數(shù)當(dāng)然更符合人們的習(xí)慣。另外，我們用f(x)代替a(x)，這樣看上去更像我們熟悉的函數(shù)形式。我們上面各種替換都只是為了修飾，我們將這些替換代入式(1.7)中，得：
(1.8)
我們居然通過(guò)這種方式得到了Laplace Transform?。?！
如果用符號(hào)代替，可以將式寫為：
(1.9)
這就是拉普拉斯變換，當(dāng)將一個(gè)t的函數(shù)輸入，將得到一個(gè)關(guān)于s的函數(shù)。
另外提一下，這里說(shuō)的是“變換”，其實(shí)數(shù)學(xué)中還有一個(gè)概念叫做“算子”，而變換和算子的最本質(zhì)區(qū)別在于，經(jīng)過(guò)“算子”運(yùn)算，變量沒(méi)有變，比如微分就是一種典型的算子，而經(jīng)過(guò)“變換”運(yùn)算則會(huì)改變變量的形式。
Reference
[1] Pierre-Simon Laplace,?https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
[2] Differential Equation,Arthur Mattuck
