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這樣的話， $Y=g(X)$ 的分布函數(shù)知道了, $F_Y(y)=P(Y \le y)=P(X\le h(y))=\int_{\propto}^{h(y)}p_{X}(x)dx\\$ 求Y的密度函數(shù)就是一件很簡(jiǎn)單的事了。

如果 $g(x)$ 是個(gè)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，有下面的公式可以用。如果 $g(x)$ 不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，有上面的定理可以用。

g(x)

是單調(diào)函數(shù)時(shí)，注意絕對(duì)值符號(hào)的應(yīng)用

正態(tài)分布應(yīng)用的太多了，單獨(dú)拿出來強(qiáng)調(diào)一下

小例子1：

$X\sim N(\mu,\sigma^2 )$ ,求 $Y=3X+5$ 的分布函數(shù)，密度函數(shù)。

顯然，Y也是正態(tài)分布，它的期望是 $E(Y)=E(3X+5)=3E(X)+5=3\times 10+5\\$ 它的方差是： $Var(Y)=Var(3X+5)=3^2Var(X)+Var(5)=9\times 4+0=36\\$ 從而 $Y\sim N(35,36)$ ,其分布函數(shù)和密度函數(shù)也就可以寫出來了。

$N(\mu,\sigma)$ 的密度函數(shù)是： $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{|x-\mu|^2}{2\sigma^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 分布函數(shù) $F(x)=\int_{-\propto }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{|x-\mu|^2}{2\sigma^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 從而 $N(35,36)$ 的密度函數(shù)是 $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }36}e^{-\frac{|x-35|^2}{236^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 分布函數(shù)是 $F(x)=\int_{-\propto }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }36}e^{-\frac{|x-35|^2}{236^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 一般來說，線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，可以應(yīng)用這個(gè)定理快速得到分布函數(shù)和密度函數(shù)。至于其他函數(shù)，如二次函數(shù)，就得特例分析了。

小例子2

因?yàn)殡S機(jī)變量函數(shù) $Y=|X|$ 不是單調(diào)函數(shù)，所以不能夠直接應(yīng)用定理來做。需要先求 $Y$ 的分布函數(shù)，在根據(jù)密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系求得相應(yīng)的密度函數(shù) $p_{Y}(y)$ .

密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系在密度函數(shù)的定義中已經(jīng)給出來了。 $F(x)$ 是變上限的定積分，它是以上限 $x$ 為自變量的函數(shù)。因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=p(x)" alt="p(x)" mathimg="1">區(qū)間 $I$ 上可積，從而 $F(x)$ 在區(qū)間 $I$ 上連續(xù)。如果 $p(x)$ 在區(qū)間 $I$ 上連續(xù)，那么 $F(x)$ 在區(qū)間 $I$ 上可導(dǎo)。這就是上面解題過程中某一步的理論支撐，正態(tài)分布的密度函數(shù)在實(shí)數(shù)集 $R$ 上是連續(xù)的。