前言

最小二乘線性擬合是常規(guī)操作，本文直接跨過(guò)。由于多元線性擬合和一元非線性擬合關(guān)系密切，故本文將其二放在一起討論。本文重點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)單元的非線性擬合。最后補(bǔ)充一句：不論是一元線性、一元非線性、多元線性，其核心思想都是：多項(xiàng)式擬合；核心方法都是：最小二乘原理。

多元非線性擬合原理

定義：變量與個(gè)自變量都存在線性關(guān)系，即構(gòu)成了多元線性關(guān)系：

每一個(gè)自變量都有一組(有個(gè))測(cè)量值，我們可以記做：。注意：，因?yàn)榉匠虜?shù)要比未知數(shù)多。變量序號(hào)與其觀測(cè)值序號(hào)如下表：

觀測(cè)值序號(hào)\變量序號(hào)
1
2
n

如何衡量擬合效果？還是根據(jù)最小二乘原理，只不過(guò)是未知參數(shù)多了一些而已?，F(xiàn)在的未知數(shù)為，即將最小二乘原理運(yùn)用到包含個(gè)的函數(shù)上即可：

對(duì)于上式，我們一次對(duì)求各個(gè)的偏導(dǎo)數(shù)并令其值為0，可得如下個(gè)方程：

最后用于求解的正規(guī)方程組為：

解上面的線性方程組即可得到一些列系數(shù)。

一元非線性擬合

為什么說(shuō)一元非線性擬合和多元線性擬合關(guān)系密切呢？因?yàn)闉榱擞?jì)算方便，我們會(huì)使用變量替換的方法，將一元非線性各階式子用不同的變量代替，轉(zhuǎn)換成多元非線性，然后用上面的正規(guī)方程組求解。

例如：已知有組非線性數(shù)據(jù)，用m階一元非線性多項(xiàng)式擬合：

我們只需要用代換()，就可以將一元非線性轉(zhuǎn)換為多元線性：

用上面多元線性的操作，根據(jù)最小二乘原理令關(guān)于每個(gè)未知系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為0，可得正規(guī)方程的矩陣的通用形式如下：

圖1：一元非線性擬合最終系數(shù)的求解方程

關(guān)于上面最終求解方法有3個(gè)細(xì)節(jié)要注意：

• 觀測(cè)值個(gè)數(shù)只出現(xiàn)在求和的上限，故不影響矩陣結(jié)構(gòu)；
• 系數(shù)的個(gè)數(shù)，要比多項(xiàng)式最高階數(shù)多1個(gè)，即多了前面的；
• 系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)方陣，尺寸比多項(xiàng)式最高階次多1。

舉一個(gè)例子：

如何現(xiàn)在有個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，想要最高階數(shù)的多項(xiàng)式擬合，即：

最終求解矩陣(尺寸：)就是：

圖2：例子的最終求解矩陣

用Matlab實(shí)現(xiàn)任意階非線性擬合

數(shù)據(jù)自己給，然后輸入想要的階數(shù)后，自動(dòng)求解擬合公式：

% 任意多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)點(diǎn), 當(dāng)然最好不要超過(guò)6階

clear; clc;

% 這里修改原始觀測(cè)數(shù)據(jù):
xnum = 1:10;
ynum = [3.8 6.3 7.9 8.6 9.2 9.5 9.7 9.9 10.1 10.2];

m = double(input('擬合階數(shù)m = '));
n = length(xnum);

% 等號(hào)左邊矩陣: 每個(gè)元素的冪 = row + col -2
A = zeros(m+1,m+1);
for row = 1:m+1
    for col = 1:m+1
        A(row,col) = sum(xnum.^(row+col-2));
    end
end

% 等號(hào)右邊矩陣: 一行m+1列
B = zeros(m+1,1);
for num = 1:m+1
    B(num,1) = sum((xnum.^(num-1)).*ynum);
end

% 多項(xiàng)式系數(shù)/方程求解:
a = inv(A)*B;

syms x;
ytmp = sym(zeros(1,m+1));
for num = 1:num
    ytmp(num) = x^(num-1);
end
fprintf('擬合結(jié)果為:\n');
y = vpa(sum(ytmp.*a'),6)   % 擬合的多項(xiàng)式結(jié)果

figure(1);
scatter(xnum,ynum);
hold on;
x = min(xnum):0.1:max(xnum);
y = double(subs(y));
plot(x,y);
grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('原點(diǎn)為樣本點(diǎn);實(shí)線為多項(xiàng)式擬合結(jié)果');

例如5階效果：

圖3：5階非線性擬合結(jié)果