久久9这里有精品,久久丰满少妇人妻

對連續(xù)時(shí)間非周期信號建立復(fù)指數(shù)信號的線性表示是傅里葉最重要的貢獻(xiàn)之一。傅里葉認(rèn)為，一個(gè)非周期信號能夠看成是周期無限長的周期信號。當(dāng)周期增大時(shí)，基波頻率減小，當(dāng)周期為無窮大時(shí)，這些頻率分量構(gòu)成連續(xù)域，從而傅里葉級數(shù)的求和就變成了積分。

回顧連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)

${\boxed{x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}, k = 0, \pm 1, ...\\ a_k=\frac 1T \int_T x(t)e^{-jkw_0t}dt}}$

連續(xù)時(shí)間非周期信號的傅里葉變換

考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號 $x(t)$ 具有有限持續(xù)期，即當(dāng) $|t|>T_1$ 時(shí)， $x(t)=0$ ，可以構(gòu)造一個(gè)周期信號 $\tilde x(t)$ ，使 $x(t)$ 為 $\tilde x(t)$ 的一個(gè)周期。根據(jù)傅里葉級數(shù)，有：
$\tilde x(t) = \sum_k a_ke^{jkw_0t}$
$a_k = \frac 1T \int_T \tilde x(t)e^{-jkw_0t}dt = \frac 1T \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jkw_0t}dt =$
定義 $X(jw) = Ta_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt$
其中 $a_k = \frac 1T X(jkw_0)$
$\tilde x(t) = \sum_k \frac 1T X(jkw_0)e^{jkw_0t} = \sum_k \frac 1{2\pi} X(jkw_0)e^{jkw_0t}w_0$
當(dāng) $T->\infty$ ， $\tilde x(t)$ 趨向于 $x(t)$ ， $w_0 -> 0$
$x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{\infty}X(jw)e^{jwt}dw$
${\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt}dw\\ X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt}}$

收斂

盡管在推導(dǎo)時(shí)采用的信號是有限持續(xù)期的，事實(shí)上這一對變換對相當(dāng)廣泛的一類無限持續(xù)期的信號仍然成立。
傅里葉變換的Dirichlet條件：

x(t)絕對可積，即 $\int_{\infty}|x(t)|dt<\infty$
在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個(gè)最大值和最小值
在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)

連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉變換

對周期信號也建立傅里葉變換，可以在統(tǒng)一對框架內(nèi)考慮周期和非周期信號。周期信號變換后，在頻域由一串沖激所組成，沖激面積正比于傅里葉級數(shù)對系數(shù)。
$X(jw) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k \delta(w-kw_0)$

例子

求信號 $x(t) = e^{-at}u(t), a>0$ 的傅里葉變換
$X(jw) = \int_0^{\infty}e^{-at}e^{-jwt}dt = -\frac {1}{a+jw}e^{-(a+jw)t}|_0^{\infty} = \frac {1}{a+jw}, a>0$

image.png
求信號 $x(t)=\left\{ \begin{array}\ 1 && |t| < T_1\\ 0 && other\\ \end{array} \right.$ 的傅里葉變換
$X(jw) = \int_{-T_1}^{T_1}e^{-jwt}dt = \frac {2sinwT_1}{w}$

image.png