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主旨：特征值的應(yīng)用

馬爾可夫矩陣，兩條性質(zhì)：

每個(gè)元素大于等于0
每列相加值為1

要點(diǎn)：

$\lambda=1$ 為特征值
其它所有特征值絕對(duì)值小于1

$u_k=A^Ku_0=c_1\lambda_1^kx_1+\underbrace{c_2\lambda_2^kx_2}_{趨向于0}\\ \lambda_1=1;\lambda_2<1\\ \to u_k=\underbrace{c_1x_1}_{穩(wěn)態(tài)}$

如何證明每列之和等于1，意味 $\lambda=1$ 為特征值
$A=\begin{bmatrix}0.1&0.01&0.3\\0.2&0.99&0.3\\0.7&0&0.4\end{bmatrix}\\ (A-\lambda I)\underbrace{=}_{\lambda=1}(A-I) = \overbrace{ \underbrace{ \begin{bmatrix} -0.9&0.01&0.3\\ 0.2&-0.01&0.3\\ 0.7&0&-0.6 \end{bmatrix} }_{線性相關(guān)行列式為0} }^{奇異，每列相加得0，三列線性相關(guān)}$
已知每列和為0，怎么說(shuō)明那列向量線性相關(guān)？

因?yàn)橄蛄?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(1%2C1%2C1)" alt="(1,1,1)" mathimg="1">，它不在矩陣的零空間，但在其轉(zhuǎn)置的零空間中 $N(A^T)$ ，對(duì)于方程，行向量線性關(guān)，就說(shuō)明矩陣奇異。行向量的 $(1,1,1)$ 組合

矩陣本身的零空間列向量的什么組合得到零向量（即零空間）？

$A$ 和 $A$ 轉(zhuǎn)置的特征值有什么關(guān)系？

它們的特征值一樣，矩陣的行列式與其轉(zhuǎn)置的行列式相等
$det(A-\lambda I)=0 \to det(A^T-\lambda I)=0$
特征值相等特征向量不同，左零空間不等于零空間

例：一個(gè)人口遷移過(guò)程從 $m$ 到 $c$

$A?$ 是馬爾科夫矩陣

設(shè)：
$\underbrace{\begin{bmatrix}U_c\\U_m\end{bmatrix}_0}_{0狀態(tài)} = \begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}$
$k$ 步后，人數(shù)怎樣變化 $U_c+U_k=1000$

經(jīng)過(guò)一次調(diào)整發(fā)生的變化
$\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U_c\\U_m\end{bmatrix}_0 = \begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}200\\800\end{bmatrix}$
再進(jìn)行一次， $U_c$ 會(huì)大于200， $U_m$ 會(huì)少于800，加起來(lái)還是1000，解任意多次就需要用特征值，特征向量
$A=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix};\lambda_1=1;\lambda_2=0.7\\ \lambda_1 代入 \to A-\lambda_1I = \begin{bmatrix}0.9-1&0.2\\0.1&0.8-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.1&0.2\\0.1&-0.2\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}-0.1&0.2\\0.1&-0.2\end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}_{x_1}= \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\\ \lambda_2代入 \to A-\lambda_2I = \begin{bmatrix}0.9-0.7&0.2\\0.1&0.8-0.7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.2&0.2\\0.1&0.1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}0.2&0.2\\0.1&0.1\end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}_{x_2}= \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\\$
$k?$ 步后：
$U_k=c_11^kx_1+c_2(0.7)^kx_2=c_1x_1+c_2x_2(0.7)^k \\ \begin{align} U_0&=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}\\ &=c_1x_1+c_2x_2\\ &=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}2c_1\\c_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-c_2\\c_2\end{bmatrix}\\ &= \begin{cases} 2c_1-c_2=0\\ c_1+c_2=1000 \end{cases} \end{align}\\ \to \underbrace{c_1=\frac{1000}{3}}_{這是要求的}; \underbrace{c_2=\frac{2000}{3}}_{這是(0.7)^k將要消失的}$

馬爾科夫矩陣，人口遷移建模得到的例子，總數(shù)不增不減

討論帶有標(biāo)準(zhǔn)正交基的投影問(wèn)題

基向量為 $q_1,q_1,\dots,q_n$ ， $V$ 是所有基向量的某種組合，組合數(shù) $x_1,x_2,\dots,x_n$ 是多少？
$V=x_1q_1+x_2q_2+\dots+x_nq_n \tag{1}$
將每一項(xiàng)與和 $q_1$ 做內(nèi)積
$\because q標(biāo)準(zhǔn)正交 \\ \to q_1.q_1=q_1^T.q_1=1 \\ q_1.q_2=q_1^Tq_2=0\\ q_1.q_3=q_1^Tq_3=0\\ \vdots\\ q_1.q_n=q_1^Tq_n=0 \\ \begin{align} q_1^TV&=q_1^T(x_1q_1)+q_1^T(x_2q_2)+\dots+q_1^T(x_nq_n)\\ &=x_1\underbrace{q_1^Tq_1}_{1}+x_2 \underbrace{q_1^Tq_2}_{0}+\dots+x_n \underbrace{q_1^Tq_n}_{0}\\ &=x_1\\ \end{align}\\ 整理得：x_1=q_1^T$