智能優(yōu)化算法：飛蛾撲火優(yōu)化算法-附代碼

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摘要：飛餓撲火優(yōu) 化算法 ( Moth-flame optimization algorithm，MFO) 是Seyedali Mirjalili等于2015年提出的一種新型智能優(yōu)化算法[1]。該算法具有并行優(yōu)化能力強，全局性優(yōu)且不易落入局部極值的性能特征，逐漸引起了學術界和工程界的關注。

1.算法原理

飛蛾在夜間飛行時采用橫向定位的特殊導航機制。在這種機制中，飛蛾通過維持自身相對月亮的角度固定進行飛行，由于月亮距離飛蛾非常遙遠，飛蛾利用這種近似的平行光可以保持直線飛行。雖然這種導航機制對飛蛾非常有效，但實際中存在許多人工或自然點光源，這種光源與月亮相比距離飛蛾非常近，當飛蛾依然與光源保持固定的角度飛行時，就會導致導航失效并且產(chǎn)生致命的螺旋式飛行路徑。

在 MFO 算法中，假設飛蛾是求解問題的候選解，待求變量是飛蛾在空間的位置。因此，通過改變其自身的位置向量，飛蛾可以飛行在一維、二維、三維、甚至更高維度的空間。由于 MFO 算法本質(zhì)上是一種群體智能優(yōu)化算法，所以飛蛾種群在矩陣中可以表示如下：
$M = \left[ \begin{matrix} m_{1,1},m_{1,2},...,m_{1,d}\\ m_{1,1},m_{1,2},...,m_{1,d}\\ .........\\ m_{n,1},m_{n,2},...,m_{n,d}\end{matrix} \right]\tag{1}$
其中： $n$ 代表飛蛾的個數(shù); $d$ 代表待求控制變量的個數(shù)(問題的維度)。對于這些飛蛾，同樣假設存在與之對應的一列適應度值向量，表示如下:
$O_{M}=\left[\begin{matrix} O_{M1}\\ O_{M2}\\ ...\\ O_{Mn}\end{matrix} \right]\tag{2}$
MFO 算法中要求每只飛蛾僅利用與之對應的唯一火焰更新其自身位置，從而避免算法陷入局部極值情況，大大增強了算法的全局搜索能力。因此，搜索空間中飛蛾位置與火焰位置是相同維度的變量矩陣：
$F = \left[ \begin{matrix} F_{1,1},F_{1,2},...,F_{1,d}\\ F_{1,1},F_{1,2},...,F_{1,d}\\ .........\\ F_{n,1},F_{n,2},...,F_{n,d}\end{matrix} \right]\tag{3}$

$O_{F}=\left[\begin{matrix} O_{F1}\\ O_{F2}\\ ...\\ O_{Fn}\end{matrix} \right]\tag{4}$

在迭代過程中，2 個矩陣中變量的更新策略有所不同。飛蛾實際上是在搜索空間內(nèi)移動的搜索個體，而火焰則是目前為止所對應的飛蛾能夠達到的最優(yōu)位置。每一只飛蛾個體環(huán)繞在一個火焰的周圍，一旦搜索到更好的解，便更新為下一代中火焰的位置。

為了對飛蛾撲火的飛行行為進行數(shù)學建模，每只飛蛾相對火焰的位置更新機制可采用方程表示 :
$M_{i}=S(M_{i},F_{j})\tag{5}$
其中： $M_{i}$ 表示第 i 只飛蛾； $F_{j}$ 表示第 $j$ 個火焰； $S$ 表示螺旋函數(shù)。該函數(shù)滿足以下條件：

1）螺旋函數(shù)的初始點應從飛蛾開始；
2）螺旋的終點為火焰的位置；
3）螺旋的波動范圍不應超過其搜索空間。
$S(M_{i},F_{j})=D_{i}.e^{bt}.cos(2\pi t)+F_{j}\tag{6}$
其中： $D_{i}$ 表示第 i 只飛蛾與第 $j$ 個火焰之間的距離； $b$ 為所定義的對數(shù)螺旋形狀常數(shù)，路徑系數(shù) $t$ 為[-1,1]中的隨機數(shù)。 $D$ 的表達式如下：
$D_{i}=|F_{j}-M_{i}|\tag{7}$
其中： $M_{i}$ 代表第 $i$ 只飛蛾； $F_{j}$ 代表第 $j$ 個火焰； $D_{i}$ 表示第 $i$ 只飛蛾與第 $j$ 個火焰的距離。

圖1.對數(shù)螺旋以及火焰周圍的空間

式(6)模擬了飛蛾螺旋飛行的路徑，可以看出，飛蛾更新的下一個位置由其圍繞的火焰確定。如圖 1 所示，螺旋函數(shù)中系數(shù)

t

表示飛蛾下一個位置與火焰接近的距離(

t=-1

表示與火焰最近的位置，而

t=1

表示最遠的位置)。螺旋方程表明飛蛾可以環(huán)繞在火焰的周圍而不僅僅是在它們之間的空間飛行，從而保障了算法的全局搜索能力與局部開發(fā)能力。圖2 為飛蛾圍繞一個火焰時位置更新模型。當一只飛蛾(藍色水平線)圍繞一個火焰(綠色水平線)飛行時，若更新后飛蛾位置(黑色水平線)的適應度值優(yōu)于當代所對應的火焰，則其更新后的位置將被選擇為下一代火焰的位置(例如標號 2 所示)，因此該飛蛾具有局部開發(fā)能力。采用該模型時具有以下特征：

1）通過修改參數(shù) $t$ ，一只飛蛾可以收斂到火焰的任意的鄰域范圍內(nèi)。
2） $t$ 越小，飛蛾距離火焰越近。
3）隨著飛蛾越來越接近火焰，其在火焰周圍更新的頻率越來越快。

圖2.一只飛蛾根據(jù)對應的火焰利用對數(shù)螺線可以達到的可能位置

上述的火焰位置更新機制能夠保證飛蛾在火焰周圍的局部開發(fā)能力。為了提高找到更優(yōu)解的概率，將當前找到的最優(yōu)解作為下一代火焰的位置。因此，火焰位置矩陣

F

通常包含了當前找到的最優(yōu)解。在優(yōu)化的過程中，每一只飛蛾根據(jù)矩陣

F

更新自身的位置。MFO 算法中存在的路徑系數(shù)

t

為

[r,1]

內(nèi)的隨機數(shù)，變量 r 在優(yōu)化迭代過程中在[-1, -2]按迭代次數(shù)線性減少。通過這種處理，隨著迭代過程的進行，飛蛾將更加精確地趨近于其對應序列中的火焰。每次迭代后，根據(jù)適應度值將火焰位置進行重新排序得到更新后的火焰序列如圖 3 所示。在下一代中，飛蛾根據(jù)與他們所對應序列中的火焰更新自身的位置。

圖3.飛蛾火焰分配圖

若

n

只飛蛾每一次的位置更新均基于搜索空間中

n

個不同的位置，則會降低算法的局部開發(fā)能力。為了解決這個問題，針對火焰的數(shù)量提出了一種自適應機制，使得在迭代過程中火焰的數(shù)量可以自適應地減少，從而平衡了算法在搜索空間中的全局搜索能力與局部開發(fā)能力，公式如下：

flame.no=round(N-l*\frac{N-1}{T})\tag{8}

其中：

l

是當前迭代次數(shù)；

N

是最大火焰數(shù)；

T

表示最大迭代次數(shù)。同時，由于火焰的減少，每一代中與序列中所減少的火焰所對應的飛蛾則根據(jù)當前適應度值最差的火焰更新其自身位置。

2.算法流程

1）MFO 算法初始化，設置輸入最優(yōu)潮流控制變量維度 d，飛蛾種群搜索規(guī)模 n，最大迭代次數(shù) T以及對數(shù)螺旋形狀常數(shù) b 等參數(shù)。
2）待求變量初始化，在搜索空間中隨機生成飛蛾位置，并評估每只飛蛾對應的適應度值。
3）將飛蛾空間位置以適應度值遞增的順序排序后賦值給火焰，作為第一代中火焰的空間位置。
4）采用式(5)更新當前代飛蛾的位置。
5）將更新后的飛蛾位置與火焰位置的適應度值重新排序，選取適應度值更優(yōu)的空間位置更新為下一代火焰的位置。
6）以式(8)自適應機制減少火焰的數(shù)量。
7）返回步驟 6）進入下一代，直至迭代次數(shù)滿足算法要求。
10）輸出并顯示優(yōu)化結(jié)果，程序結(jié)束。

3.算法結(jié)果

算法結(jié)果

4.參考文獻

[1]Seyedali Mirjalili. Moth-flame optimization algorithm: A novel nature-inspired heuristic paradigm[J]. Knowledge-Based Systems,2015,89.

[2]王子琪,陳金富,張國芳,楊琪,代宇涵.基于飛蛾撲火優(yōu)化算法的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算[J].電網(wǎng)技術,2017,41(11):3641-3647.

5.MATLAB代碼

https://mianbaoduo.com/o/bread/Z5iZl50=

文獻復現(xiàn)：基于Levy飛行的飛蛾撲火優(yōu)化算法(LMFO)
[1]李志明,莫愿斌.基于Lévy飛行的飛蛾撲火優(yōu)化算法[J].計算機工程與設計,2017,38(03):807-813.

文獻復現(xiàn)：基于交叉算子和非均勻變異算子的飛蛾撲火優(yōu)化算法(CNMFO)
[1]張保東,張亞楠,郭黎明,江進禮,趙嚴振.基于交叉算子和非均勻變異算子的飛蛾撲火優(yōu)化算法[J].計算機與數(shù)字工程,2020,48(11):2622-2627.

文獻復現(xiàn)：結(jié)合重心反向變異的飛蛾撲火優(yōu)化算法(IMFO)
[1]宋婷婷,張琳娜.結(jié)合重心反向變異的飛蛾撲火優(yōu)化算法[J].智能計算機與應用,2020,10(12):104-107+115.

6.Python 代碼

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