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矩陣的初等變換

下面三種變換稱為矩陣的初等變換：

對(duì)換兩行： $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$ （或者列）
以數(shù) $k$ 乘某一行（列）中的所有元： $r_{i}\times k$
把某一行（列）所有元的 $k$ 倍加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元上去： $r_{i}+kr_{j}$

一般而言，常用的是初等行變換
如果矩陣 $A$ 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 $B$ ，就稱矩陣 $A$ 與 $B$ 等價(jià)，記作 $A～B$ 。當(dāng)然還有行等價(jià)： $A\overset{r}{\sim}B$ 和列等價(jià)： $A\overset{c}{\sim}B$ 。

矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：
(i)反身性 $A～A$
(ii)對(duì)稱性　若 $A～B$ ，則 $B～A$
(iii)傳遞性　若 $A～B$ ， $B～C$ ，則 $A～C$

若非零矩陣若滿足(i)非零行在零行的上面(ii)非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的話）的首非零元所在列的右面，則稱此矩陣為行階梯形矩陣。
若 $A$ 是行階梯形矩陣，并且還滿足：（i）非零行的首非零元為1;（ii）首非零元所在的列的其他元均為0，則稱 $A$ 為行最簡形矩陣。
對(duì)行最簡形矩陣再施以初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)形。

的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元全為0:

$A$ 與 $B$ 為 $m×n$ 矩陣，那么
（i） $A\overset{r}{\sim}B$ 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 $P$ ，使 $PA =B$ ；
（ii） $A\overset{c}{\sim}B$ 的充分必要條件是存在 n 階可逆矩陣 $Q$ ，使 $AQ =B$ ；
（iii） $A～B$ 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 $P$ 及 n 階可逆矩陣 $Q$ ，使
$PAQ =B$ .

由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

把單位矩陣中第i，j兩行對(duì)換（或第i，j兩列對(duì)換），得初等矩陣： $E(i,j)$
以數(shù) $k≠0$ 乘單位矩陣的第i行（或第i列），得初等矩陣: $E(i(k))$
以k乘單位矩陣的第j行加到第i行上或以k乘單位矩陣的第i列加到第j列上，得初等矩陣: $E(ij(k))$

設(shè) $A$ 是一個(gè) $m×n$ 矩陣，對(duì) $A$ 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 $A$ 的左邊乘相應(yīng)的 $m$ 階初等矩陣；對(duì) $A$ 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 $A$ 的右邊乘相應(yīng)的 $n$ 階初等矩陣。

$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$
$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))$
$E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$

注：方陣 $A$ 可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣 $P_{1}，P_{2}，… ,P_{l}$ ，使 $A =P_{1} P_{2}…P_{l}$ 。 $\Rightarrow$ 方陣 $A$ 可逆的充分必要條件是 $A\overset{r}{\sim}B$ .

矩陣的秩

在 $m×n$ 矩陣 $A$ 中，任取 $k$ 行與 $k$ 列 $（k≤ m，k≤n）$ ，位于這些行列交叉處的 $k^{2}$ 個(gè)元素，不改變它們在 $A$ 中所處的位置次序而得的 $k$ 階行列式，稱為矩陣 $A$ 的 $k$ 階子式.
$m×n$ 矩陣 $A$ 的 $k$ 階子式共有 $C_{m}^{k}\cdot C_{n}^{k}$ 個(gè).

設(shè) $A\overset{r}{\sim}B$ ，則 $A$ 與 $B$ 中非零子式的最高階數(shù)相等.

設(shè)在矩陣 $A$ 中有一個(gè)不等于0 的 $r$ 階子式 $D$ ，且所有 $r+ 1$ 階子式（如果存在的話）全等于0，那么 $D$ 稱為矩陣 $A$ 的最高階非零子式，數(shù) $r$ 稱為矩陣 $A$ 的秩，記作 $R(A)$ 。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。

可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱降秩矩陣

矩陣的秩的性質(zhì)
$0\leqslant R(A_{m\times n})\leqslant min\left \{m,n \right \}$
$R(A^{T})=R(A)$

若 $A \sim B$ ,則 $R(A)=R(B)$
若 $P,Q$ 可逆，則 $R(PAQ)=R(A)$
$max \left \{R(A),R(B) \right \}≤R(A，B)≤R(A)+R(B) \Rightarrow R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1$ （b為列向量）
$R(A+B)≤ R(A) +R(B)$
$R(AB)≤ min\left \{R(A),R(B) \right \}$
若 $A_{m \times n}B_{n \times l}=O$ ,則 $R(A)+R(B)≤ n$