1、群的概念可以理解為：一個集合以及定義在這個集合上的二元運算，滿足群的四條公理，封閉性、結合性、單位元、反元素。
可交換群就是在滿足群的”四公理“的基礎上在加上一個可交換的屬性，可把滿足可交換的操作滿足對稱性。
1.1 ?原群(magma)是一種基本的代數(shù)結構，只要滿足兩元素作二元運算得到新元素仍屬于該集合，即封閉性。
1.2 半群(Semigroup)，滿足結合律(associative property)的代數(shù)結構。V=，其中二元運算*是可結合的，即(a*b)*c=a*(b*c)，則稱V是半群。
1.3 阿貝爾群(Abelian Group)-交換群在群的基礎上，還需滿足交換律。如整數(shù)集合和加法運算，(Z,+)，是一個阿貝爾群
2、環(huán)(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，添加一種二元運算·(雖叫乘法，但不同于初等代數(shù)的乘法)。一個代數(shù)結構是環(huán)(R, +, ·)，
3、域(Field)在交換環(huán)的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數(shù)結構，是數(shù)域與四則運算的推廣。整數(shù)集合不是域，因為整數(shù)的倒數(shù)不是整數(shù)。
有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)可以形成域，分別叫有理數(shù)域、實數(shù)域、復數(shù)域
從群到環(huán)，再到域，是一個條件逐漸收斂的過程
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