概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)打卡——隨機(jī)事件與隨機(jī)變量

1.樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件、事件域、概率

\color{red}{樣本點(diǎn)→樣本空間→事件→事件域→概率}

樣本點(diǎn)（\omega ）：試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果。

樣本空間（\Omega ）：本質(zhì)是一個(gè)集合，全部樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。

隨機(jī)事件（A_{i} ）：本質(zhì)是一個(gè)集合，樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集；也可以理解為本質(zhì)是一個(gè)元素，事件域（F）中的一個(gè)元素。

事件域（F）：本質(zhì)是一個(gè)集合，是由事件構(gòu)成的\sigma 域，也就是樣本空間的一些子集構(gòu)成的集合（加上一些限制）。

概率（P）：本質(zhì)是一個(gè)集合函數(shù)，我們將定義在F上的滿足非負(fù)性、規(guī)律性、可列可加性的集合函數(shù)P叫概率。即定義在F上的集合函數(shù)到[0，1]的映射。


2.古典概型

使用條件：有限性+等可能性

有限性：涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)

等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等

公式：P(A)=\frac{事件A所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)}{\Omega 中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)}

Python實(shí)現(xiàn)生日問(wèn)題：



3.條件概率

A、B是兩個(gè)事件，P(B)>0，P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} ,表示在B事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，具體計(jì)算時(shí)可采用縮減樣本空間法。


4.全概率公式、貝葉斯公式

全概率公式實(shí)際上是為了求解復(fù)雜事件概率，可以理解為全部原因（B_{i} ）引起結(jié)果（A）發(fā)生的概率。


在事件A的概率不方便直接求的時(shí)候，用完全事件組B劃分樣本空間，使事件AB_{i} 的概率好求

此時(shí)P(A)=\sum_{i=1}^n P(AB_{i} )=\sum_{i=1}^nP(A|B_{i} )P(B_{i} )稱為全概率公式。


貝葉斯公式實(shí)際上是求一個(gè)條件概率，是求導(dǎo)致結(jié)果（A）發(fā)生的各個(gè)原因（B_{i} ）的可能性。

P(B_{i}|A )=\frac{P(AB_{i} )}{P(A)}=\frac{P(A|B_{i} )P(B_{i} )}{\sum_{i=1}^nP(A|B_{i} )P(B_{i} ) } 稱為貝葉斯公式。


5.隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量（r.v.）：本質(zhì)是樣本點(diǎn)的函數(shù)，設(shè)X(\omega )是定義在概率空間（F，\Omega ，P）上的單值實(shí)函數(shù)，若對(duì)直線上的任一博雷爾點(diǎn)集B，有{\omega ：X(\omega )\in B}\in F，則稱X（\omega ）是隨機(jī)變量。即定義在概率空間上樣本點(diǎn)的函數(shù)到實(shí)數(shù)域的映射。

隨機(jī)變量的分布函數(shù)：F(x)=P(X\leq x)

分布函數(shù)定義在（-\propto ，+\propto ），取值在[0,1]上，具有單調(diào)性、有界性、右連續(xù)性的概率累積函數(shù)。


6.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

伯努利試驗(yàn)：在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，且試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：發(fā)生或者不發(fā)生。

n重伯努利試驗(yàn)：將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，就稱這一系列重復(fù)獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。

二項(xiàng)分布(X~B(n,p))：X表示n重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，p為每次成功的概率，則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布。成功k次的概率為P(X=k )=C_{n}^k p^k (1-p)^{n-k}


7.隨機(jī)變量的數(shù)字特征

離散型數(shù)學(xué)期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律P（X=x_{i} ）=p_{i} ，若級(jí)數(shù)\sum_{i=1}^n \vert x_{i} \vert p_{i} 收斂，則EX=\sum_{i=1}^n x_{i} p_{i}

連續(xù)型數(shù)學(xué)期望：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分\int_{-\propto }^{+\propto } \vert x \vert f(x)dx收斂，則EX=\int_{-\propto }^{+\propto } x f(x)dx

方差：隨機(jī)變量函數(shù)的期望,表示隨機(jī)變量X到它的期望距離平方的均值。DX=E[X-EX]^2=EX^2-(EX)^2

協(xié)方差：描述隨機(jī)變量X、Y之間線性關(guān)系的程度。COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY=\rho _{xy} \sqrt{DXDY}

相關(guān)系數(shù)：描述隨機(jī)變量X、Y之間線性關(guān)系的程度。\rho _{xy} =\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{DXDY} } ，\rho \in [-1,1]，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，表示X與Y之間相關(guān)程度越大。

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