[初中數(shù)學(xué)】幾何經(jīng)典問題——三角形的兩個(gè)角平分線夾角和另一個(gè)角關(guān)系探究

作者介紹：
大爽老師，以前做過高中數(shù)學(xué)線上一對(duì)一輔導(dǎo)老師
現(xiàn)在賦閑在家，與大家分享一些初高中數(shù)學(xué)的知識(shí)，方法與思路。

三角形的角平分線

三角形兩個(gè)角平分線構(gòu)成的角，與三角形另一個(gè)角的關(guān)系探究。
結(jié)論不必掌握，重要的是掌握過程中使用的方法與核心基礎(chǔ)定理。

核心基礎(chǔ)定理

  • 三角形內(nèi)角和為180°
  • 三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和。

1 兩個(gè)內(nèi)角的角平分線

\begin{align} &如圖，\triangle ABC中，\angle B 和 \angle C 的角平分線相交于點(diǎn)D \\ &探究 \angle D 和 \angle A的關(guān)系 \end{align}

1-1.png

\begin{align} &\because\triangle ABC的內(nèi)角和為180^\circ & \\ &\therefore\angle A+2\angle 1+2\angle 2=180^\circ \tag{1} \\ &\because\triangle DBC的內(nèi)角和為180^\circ & \\ &\therefore\angle D+\angle 1+\angle 2=180^\circ \tag{2} \\ \\ & (要探究 \angle D 和 \angle A的關(guān)系，就要把上面兩個(gè)公式中的\angle 1+\angle 2消去。) \\ \\ & 2 \times (2)-(1)得 \\ & 2 \angle D - \angle A = 180^\circ\\ &\therefore \angle A = 2\angle D - 180^\circ \\ &\therefore \angle D = \frac {1} {2}\angle A + 90^\circ \\ \end{align}

2 一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角的角平分線

\begin{align} & 如圖，\triangle ABC中，\angle B 的角平分線 和 \angle C 的外角平分線相交于點(diǎn)E \\ & 探究 \angle E 和 \angle A的關(guān)系 \end{align}

1-2.png

\begin{align} &\because 三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和 \\ &\therefore 對(duì)于\triangle EBC， \angle 3 = \angle 1+ \angle E \tag{1} \\ &\therefore 對(duì)于\triangle ABC， 2\angle 3 = 2\angle 1+ \angle A \tag{2} \\ \\ & 由(1)和(2)可得 \\ & \angle A = 2\angle E \\ \end{align}

3 兩個(gè)外角的角平分線

\begin{align} & 如圖，\triangle ABC中，\angle B 的外角平分線 和 \angle C 的外角平分線相交于點(diǎn)F \\ & 探究 \angle F 和 \angle A的關(guān)系 \end{align}

1-3.png

\begin{align} &\because\triangle FBC的內(nèi)角和為180^\circ & \\ &\therefore \angle F = 180^\circ-\angle 3 - \angle 4 \tag{1} \\ &\because 三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和 \\ &\therefore 2\angle 3 = \angle A + \angle ABC \\ &\therefore 2\angle 4 = \angle A + \angle ACB \\ &\therefore 2\angle 3 + 2\angle 4 = \angle A + \angle ABC + \angle A + \angle ACB \\ & = (\angle A + \angle ABC + \angle ACB) + \angle A \\ & = 180^\circ + \angle A \\ &即 \angle A = 180^\circ - 2\angle 3 - 2\angle 4 \tag{2} \\ \\ & (要探究 \angle A 和 \angle F 的關(guān)系，就要把上面兩個(gè)公式中的\angle 3+\angle 4 消去。) \\ \\ & 2 \times (1)- (2)得 \\ & 2 \angle F - \angle A = 180^\circ \\ & 即 \\ & \angle A = 2 \angle F - 180^\circ \\ & \angle F = \frac{1} {2} \angle A + 90^\circ \\ \end{align}

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