中心極限定理是概率論中的一組定理，研究的是大量相互獨立的隨機變量之和在什么樣的條件下會收斂于正態(tài)分布。我們利用林德伯格-列維（Lindeberg-Levy）中心極限定理，可以通過服從均勻分布的隨機數(shù)生成服從高斯分布的隨機數(shù)生成算法

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林德伯格-列維中心極限定理

具有有限期望和方差(不為0)的獨立同分布的隨機變量之和，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后，其分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

令隨機變量 $X_1, X_2, … , X_n$ 獨立同分布，且具有有限的期望和方差 $E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2 \neq 0 \quad (i = 1,2, .., n)$

記
$Y = \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu }{\sqrt{n} \sigma } \tag{1}$
則

$\lim_{n \to \infty} P(Y \leq a) = \Phi(a)$
其中 $\Phi(a)$ 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

生成服從Gaussian分布的近似隨機數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

根據(jù)上文，我們可以得知，取多次指定分布下的隨機數(shù)，然后經(jīng)過求和、標(biāo)準(zhǔn)化后，即可使得該隨機數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

這里我們?nèi)∪菀撰@得的均勻分布 $X_n \sim U(0,1)$ 為例，則易知：

$E(X_i) = 1/2, D(X_i) = 1/12$

則根據(jù) $(1)$ 式可得，所需的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量 $Y$ :
$Y = \sqrt(\frac{12}{n}) (\sum_{i=1}^{n}X_n - \frac{n}{2}) \sim N(0,1)$
在有些算法的實現(xiàn)源碼可以看到 $n$ 取值12，其原因就在這里根號正好可以消去。 $n$ 越大，其精度越高

普通高斯分布

一般高斯分布 $Z \sim N( \mu_2, \sigma_2 )$ 和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 $Y \sim N(0, 1)$ 的轉(zhuǎn)換公式如下：
$Y = \frac{Z-\mu_2}{\sigma_2} \tag{2}$
則可以用 $(2)$ 式獲得指定的高斯分布