在講運算之前，先復(fù)習(xí)一下數(shù)：
數(shù)是對數(shù)量的抽象。為了普遍適應(yīng)大眾閱讀，先給大家解釋一下“抽象”這個詞的意思：
抽象主要是為了使復(fù)雜度降低，以得到論域中較簡單的概念。也就是說，我們在研究某物數(shù)量的時候，是不考慮顏色、大小、形狀、材質(zhì)等等的。
這里用一張圖來說一下計數(shù)教學(xué)的基本模式：
當(dāng)然，十進(jìn)位值制的誕生和阿拉伯?dāng)?shù)字的使用可謂是數(shù)學(xué)系統(tǒng)靈魂式的飛躍，試想一下，如果沒有它們，數(shù)學(xué)將會多么繁瑣？
好了，以上常識白送，下面我們言歸正傳，說運算！
運算是對數(shù)量的操作，今天先說加減法。
【情景問題】
停車場原來有4輛小汽車，又來了2輛，現(xiàn)在一共有多少輛？
兒童如何理解這個問題？怎樣更好地建構(gòu)加法模型？
需要進(jìn)行下面的基本操作：
1. 用木塊或者棋子代替小汽車，模擬小汽車的運動——合起來！ 這個“合”的過程非常重要，就是讓兒童通過操作，建構(gòu)加法模型。
2. 進(jìn)行計數(shù)，4個加2個一共是6個。
3. 用數(shù)學(xué)符號表示這一過程：4+2=6 。
通過這樣的幾個例子的操作，兒童頭腦中關(guān)于加法的模型就建構(gòu)起來了。
（減法的原理一樣，只不過操作方向相反，所以，減法稱為加法的逆運算）
什么是模型？為了便于大家理解，請看下圖：
我們可以把“模型”理解為一套程序，它通過判斷輸入的信息，進(jìn)行信息架構(gòu)，進(jìn)而輸出相應(yīng)的結(jié)果。為什么人們對待同一件事都會有不同的理解和差異甚大的反應(yīng)？根本原因就是我們各自建構(gòu)了不同的理解模型（在價值判斷上尤為明顯）。而在學(xué)習(xí)知識上，我們所追求的就是建構(gòu)相同的理解模型，而我們要做的就是如何建構(gòu)這些模型（知識）。
通過上面的模型，我們可以得知，解決數(shù)學(xué)問題不是從要求的問題出發(fā)，也不是從已知信息出發(fā)，而是我們得到了怎樣的信息？而這里的信息包括已知條件和要求的問題，因為只知道已知信息“停車場有4輛車，又開來了2輛”或者要求的問題“一共有多少量”時，我們無法用模型架構(gòu)信息進(jìn)行判斷，這樣的情況稱為“信息殘缺”，小學(xué)很多練習(xí)冊上有很多這樣的信息殘缺訓(xùn)練題，很多兒童無法填補相應(yīng)的信息，那么，也可以說他的模型沒有建構(gòu)起來。反之，可以利用這樣的方法幫助兒童進(jìn)行模型建構(gòu)和鞏固。
要使一個模型得到穩(wěn)固的建構(gòu)并能有效使用，需要大量的例子輸入。為什么要這樣的呢？就是要增強(qiáng)模型的泛化能力。
如果上面的問題是一個例子，那么我們還需要哪些例子或者變式？
先說一下什么叫變式？變式就是跟例子很像的例子，變式中不變的是一個知識核心或者說一個模型結(jié)構(gòu)，變化的是情景，是數(shù)據(jù)。
（在小學(xué)數(shù)學(xué)課本上最好的變式就是緊跟例題后面的做一做，不知道你有沒有發(fā)現(xiàn)它的價值？第二好的就是課本上的跟蹤練習(xí)題。）
我們來看幾個相應(yīng)的變式：
1. 樹上有3只鳥，又飛來了4只鳥，樹上一共有幾只鳥？（我描述的這是一個視頻情景問題，如果你擅長于制作視頻，那么恭喜了，你又獲得了一個好的變式）
這時候，輸入是樹上靜止的三只鳥；動態(tài)飛來的4只鳥；一共有多少只鳥？那兒童會不會啟動他的加法模型？能不能輸出3+4=7（只），如果能做到，那么他建構(gòu)的加法模型就得到一次泛化（也可以叫做模型的擴(kuò)展）。
還有呢？
2. 小明有4個蘋果，小亮有5個蘋果，他們兩個一共有多少個蘋果？
3. 花園里有2朵紅花，4朵藍(lán)花，一共有多少朵花？
4.······
“你還能想出什么樣的例子？”這時候，這個問題可以交給學(xué)生了，“請用“4+5=9”編一道數(shù)學(xué)題?！?/p>
通過大量的例子輸入，學(xué)生會很容易在一道用加法計算的題目中找見什么是“部分、部分”，什么是“整體”。
好了，如果你能做到以上這些，那么，我想學(xué)生的加法概念應(yīng)該沒有多大問題了。
你覺得后面學(xué)習(xí)連加學(xué)生會有問題嗎？只不過是多了一部分嘛。
這時候可能有人要問，計算呢？你講的這些都是解決問題，學(xué)生如何計算呢？
我正經(jīng)的告訴你，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，第一是意義，就像我們上面說到的“加法”就是表示“合起來”，只要學(xué)生掌握了意義，那么他需要練習(xí)，就是純算式的計算，訓(xùn)練計算的速度和正確率。
減法你會依法炮制了嗎？我想應(yīng)該是差不多了？
哦，你可能還想問，加法不光是合起來啊，還有這種情況：
5. 小明有3個蘋果，小麗的蘋果比他多5個，小麗有多少個蘋果？
嗯，這是一個很好的變式，我們用圖來理解一下：
小麗的蘋果分為兩部分，一部分是和小明一樣多的部分，另一部分是多出來的部分，那整體就很清楚了。
今天就講加減法吧，你感興趣嗎？
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后面打算寫：
乘除法運算建模
為什么加減法是一級運算，乘除法是二級運算。為什么二級混合運算要先算乘除法？
面積計算到底算的是什么？
黑格爾能不能幫助我們理解數(shù)學(xué)？
你對那個話題更感興趣，可以提議先寫（哈哈）
