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這是 GAN 學(xué)習(xí)系列的第二篇文章，這篇文章將開始介紹 GAN 的起源之作，鼻祖，也就是 Ian Goodfellow 在 2014 年發(fā)表在 ICLR 的論文--Generative Adversarial Networks”，當然由于數(shù)學(xué)功底有限，所以會簡單介紹用到的數(shù)學(xué)公式和背后的基本原理，并介紹相應(yīng)的優(yōu)缺點。
基本原理
在[GAN學(xué)習(xí)系列] 初識GAN中，介紹了 GAN 背后的基本思想就是兩個網(wǎng)絡(luò)彼此博弈。生成器 G 的目標是可以學(xué)習(xí)到輸入數(shù)據(jù)的分布從而生成非常真實的圖片，而判別器 D 的目標是可以正確辨別出真實圖片和 G 生成的圖片之間的差異。正如下圖所示：
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上圖給出了生成對抗網(wǎng)絡(luò)的一個整體結(jié)構(gòu)，生成器 G 和判別器 D 都是有各自的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和不同的輸入，其中 G 的輸出，即生成的樣本也是 D 的輸入之一，而 D 則會為 G 提供梯度進行權(quán)重的更新。
那么問題來了，如果 D 是一個非常好的分類器，那么我們是否真的可以生成非常逼真的樣本來欺騙它呢？
對抗樣本
在正式介紹 GAN 的原理之前，先介紹一個概念--對抗樣本(adversarial example)，它是指經(jīng)過精心計算得到的用于誤導(dǎo)分類器的樣本。例如下圖就是一個例子，左邊是一個熊貓，但是添加了少量隨機噪聲變成右圖后，分類器給出的預(yù)測類別卻是長臂猿，但視覺上左右兩幅圖片并沒有太大改變。
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所以為什么在簡單添加了噪聲后會誤導(dǎo)分類器呢？
這是因為圖像分類器本質(zhì)上是高維空間的一個復(fù)雜的決策邊界。當然涉及到圖像分類的時候，由于是高維空間而不是簡單的兩維或者三維空間，我們無法畫出這個邊界出來。但是我們可以肯定的是，訓(xùn)練完成后，分類器是無法泛化到所有數(shù)據(jù)上，除非我們的訓(xùn)練集包含了分類類別的所有數(shù)據(jù)，但實際上我們做不到。而做不到泛化到所有數(shù)據(jù)的分類器，其實就會過擬合訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)，這也就是我們可以利用的一點。
我們可以給圖片添加一個非常接近于 0 的隨機噪聲，這可以通過控制噪聲的 L2 范數(shù)來實現(xiàn)。L2 范數(shù)可以看做是一個向量的長度，這里有個訣竅就是圖片的像素越多，即圖片尺寸越大，其平均 L2 范數(shù)也就越大。因此，當添加的噪聲的范數(shù)足夠低，那么視覺上你不會覺得這張圖片有什么不同，正如上述右邊的圖片一樣，看起來依然和左邊原始圖片一模一樣；但是，在向量空間上，添加噪聲后的圖片和原始圖片已經(jīng)有很大的距離了！
為什么會這樣呢？
因為在 L2 范數(shù)看來，對于熊貓和長臂猿的決策邊界并沒有那么遠，添加了非常微弱的隨機噪聲的圖片可能就遠離了熊貓的決策邊界內(nèi)，到達長臂猿的預(yù)測范圍內(nèi)，因此欺騙了分類器。
除了這種簡單的添加隨機噪聲，還可以通過圖像變形的方式，使得新圖像和原始圖像視覺上一樣的情況下，讓分類器得到有很高置信度的錯誤分類結(jié)果。這種過程也被稱為對抗攻擊(adversarial attack)，這種生成方式的簡單性也是給 GAN 提供了解釋。
生成器和判別器
現(xiàn)在如果將上述說的分類器設(shè)定為二值分類器，即判斷真和假，那么根據(jù) Ian Goodfellow 的原始論文的說法，它就是判別器（Discriminator）。
有了判別器，那還需要有生成假樣本來欺騙判別器的網(wǎng)絡(luò)，也就是生成器 （Generator）。這兩個網(wǎng)絡(luò)結(jié)合起來就是生成對抗網(wǎng)絡(luò)（GAN），根據(jù)原始論文，它的目標如下：
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兩個網(wǎng)絡(luò)的工作原理可以如下圖所示，D 的目標就是判別真實圖片和 G 生成的圖片的真假，而 G 是輸入一個隨機噪聲來生成圖片，并努力欺騙 D 。
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簡單來說，GAN 的基本思想就是一個最小最大定理，當兩個玩家（D 和 G）彼此競爭時（零和博弈），雙方都假設(shè)對方采取最優(yōu)的步驟而自己也以最優(yōu)的策略應(yīng)對（最小最大策略），那么結(jié)果就已經(jīng)預(yù)先確定了，玩家無法改變它（納什均衡）。
因此，它們的損失函數(shù)，D 的是
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G 的是
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這里根據(jù)它們的損失函數(shù)分析下，G 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練目標就是讓D(G(z)) 趨近于 1，這也是讓其 loss 變小的做法；而 D 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練目標是區(qū)分真假數(shù)據(jù)，自然是讓 D(x) 趨近于 1，而 D(G(z)) 趨近于 0。這就是兩個網(wǎng)絡(luò)相互對抗，彼此博弈的過程了。
那么，它們相互對抗的效果是怎樣的呢？在論文中 Ian Goodfellow 用下圖來描述這個過程：
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上圖中，黑色曲線表示輸入數(shù)據(jù) x 的實際分布，綠色曲線表示的是 G 網(wǎng)絡(luò)生成數(shù)據(jù)的分布，我們的目標自然是希望著兩條曲線可以相互重合，也就是兩個數(shù)據(jù)分布一致了。而藍色的曲線表示的是生成數(shù)據(jù)對應(yīng)于 D 的分布。
在 a 圖中是剛開始訓(xùn)練的時候，D 的分類能力還不是最好，因此有所波動，而生成數(shù)據(jù)的分布也自然和真實數(shù)據(jù)分布不同，畢竟 G 網(wǎng)絡(luò)輸入是隨機生成的噪聲；到了 b 圖的時候，D 網(wǎng)絡(luò)的分類能力就比較好了，可以看到對于真實數(shù)據(jù)和生成數(shù)據(jù)，它是明顯可以區(qū)分出來，也就是給出的概率是不同的；
而綠色的曲線，即 G 網(wǎng)絡(luò)的目標是學(xué)習(xí)真實數(shù)據(jù)的分布，所以它會往藍色曲線方向移動，也就是 c 圖了，并且因為 G 和 D 是相互對抗的，當 G 網(wǎng)絡(luò)提升，也會影響 D 網(wǎng)絡(luò)的分辨能力。論文中，Ian Goodfellow 做出了證明，當假設(shè) G 網(wǎng)絡(luò)不變，訓(xùn)練 D 網(wǎng)絡(luò)，最優(yōu)的情況會是：
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也就是當生成數(shù)據(jù)的分布
趨近于真實數(shù)據(jù)分布
的時候，D 網(wǎng)絡(luò)輸出的概率
會趨近于 0.5，也就是 d 圖的結(jié)果，這也是最終希望達到的訓(xùn)練結(jié)果，這時候 G 和 D 網(wǎng)絡(luò)也就達到一個平衡狀態(tài)。
訓(xùn)練策略和算法實現(xiàn)
論文給出的算法實現(xiàn)過程如下所示：
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這里包含了一些訓(xùn)練的技巧和方法：
首先 G 和 D 是同步訓(xùn)練，但兩者訓(xùn)練次數(shù)不一樣，通常是D 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練 k 次后，G 訓(xùn)練一次。主要原因是 GAN 剛開始訓(xùn)練時候會很不穩(wěn)定；
D 的訓(xùn)練是同時輸入真實數(shù)據(jù)和生成數(shù)據(jù)來計算 loss，而不是采用交叉熵（cross entropy）分開計算。不采用 cross entropy 的原因是這會讓 D(G(z)) 變?yōu)?0，導(dǎo)致沒有梯度提供給 G 更新，而現(xiàn)在 GAN 的做法是會收斂到 0.5；
實際訓(xùn)練的時候，作者是采用
來代替
，這是希望在訓(xùn)練初始就可以加大梯度信息，這是因為初始階段 D 的分類能力會遠大于 G 生成足夠真實數(shù)據(jù)的能力，但這種修改也將讓整個 GAN 不再是一個完美的零和博弈。
分析
優(yōu)點
GAN 在巧妙設(shè)計了目標函數(shù)后，它就擁有以下兩個優(yōu)點。
首先，GAN 中的 G 作為生成模型，不需要像傳統(tǒng)圖模型一樣，需要一個嚴格的生成數(shù)據(jù)的表達式。這就避免了當數(shù)據(jù)非常復(fù)雜的時候，復(fù)雜度過度增長導(dǎo)致的不可計算。
其次，它也不需要 inference 模型中的一些龐大計算量的求和計算。它唯一的需要的就是，一個噪音輸入，一堆無標準的真實數(shù)據(jù)，兩個可以逼近函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)。
缺點
雖然 GAN 避免了傳統(tǒng)生成模型方法的缺陷，但是在它剛出來兩年后，在 2016 年才開始逐漸有非常多和 GAN 相關(guān)的論文發(fā)表，其原因自然是初代 GAN 的缺點也是非常難解決：
首當其沖的缺點就是 GAN 過于自由導(dǎo)致訓(xùn)練難以收斂以及不穩(wěn)定；
其次，原始 G 的損失函數(shù)
沒有意義，它是讓G 最小化 D 識別出自己生成的假樣本的概率，但實際上它會導(dǎo)致梯度消失問題，這是由于開始訓(xùn)練的時候，G 生成的圖片非常糟糕，D 可以輕而易舉的識別出來，這樣 D 的訓(xùn)練沒有任何損失，也就沒有有效的梯度信息回傳給 G 去優(yōu)化它自己，這就是梯度消失了；
最后，雖然作者意識到這個問題，在實際應(yīng)用中改用
來代替，這相當于從最小化 D 揪出自己的概率，變成了最大化 D 抓不到自己的概率。雖然直觀上感覺是一致的，但其實并不在理論上等價，也更沒有了理論保證在這樣的替代目標函數(shù)訓(xùn)練下，GAN 還會達到平衡。這個結(jié)果會導(dǎo)致模式奔潰問題，其實也就是[GAN學(xué)習(xí)系列] 初識GAN中提到的兩個缺陷。
當然，上述的問題在最近兩年各種 GAN 變體中逐漸得到解決方法，比如對于訓(xùn)練太自由的，出現(xiàn)了 cGAN，即提供了一些條件信息給 G 網(wǎng)絡(luò)，比如類別標簽等信息；對于 loss 問題，也出現(xiàn)如 WGAN 等設(shè)計新的 loss 來解決這個問題。后續(xù)會繼續(xù)介紹不同的 GAN 的變體，它們在不同方面改進原始 GAN 的問題，并且也應(yīng)用在多個方面。
參考文章：
Goodfellow et al., “Generative Adversarial Networks”. ICLR 2014.
beginners-review-of-gan-architectures
深度 | 生成對抗網(wǎng)絡(luò)初學(xué)入門：一文讀懂GAN的基本原理（附資源）
配圖來自網(wǎng)絡(luò)和論文 Generative Adversarial Networks
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作者：材才才
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