（摘自《兒童心理學(xué)手冊(cè)》第六版第四卷【應(yīng)用兒童心理學(xué)】第四章【數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)】）
綜觀過去15年到20年的文獻(xiàn)，他們認(rèn)為，兒童有否數(shù)學(xué)能力可以作為獲得了一種數(shù)學(xué)傾向的指標(biāo)。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)擴(kuò)展到超越學(xué)習(xí)概念、過程和它們的應(yīng)用，它還包括對(duì)數(shù)學(xué)形成一種傾向以及把數(shù)學(xué)看成是分析情境的一個(gè)有效方法。傾向不僅是指態(tài)度，而且是指積極地思考和行動(dòng)的傾向性。學(xué)生的數(shù)學(xué)傾向體現(xiàn)在他們解決問題時(shí)的方式——是否具有信心、愿望去探索多種可能，是否堅(jiān)定不移和滿懷興趣——以及他們反思自己思維的傾向。（NCTM,1989）
建立和掌握這樣的一個(gè)傾向需要認(rèn)知、情感和意志參與并需要以下五個(gè)要素相互協(xié)調(diào)：
1. 一個(gè)組織良好而又能靈活使用的具體領(lǐng)域的知識(shí)庫，包括事實(shí)、符號(hào)、算法、概念和法則，這些要素組合成為數(shù)學(xué)，并使數(shù)學(xué)成為一門學(xué)科。
2. 啟發(fā)式的方法，即搜索解題策略，雖不一定能找到答案，但因?yàn)橐肓讼到y(tǒng)策略，可以明顯地增加找到正確的解題策略的可能性。啟發(fā)式解題的例子包括把問題分解為多個(gè)小目標(biāo)和對(duì)問題作圖解。
3. 元認(rèn)知，包括對(duì)個(gè)人認(rèn)知機(jī)能的理解（元認(rèn)知知識(shí)，例如，相信個(gè)人的認(rèn)知潛能可以通過學(xué)習(xí)和努力而形成和提高）和有關(guān)個(gè)人動(dòng)機(jī)及情緒的知識(shí)可以用來提升意志力（例如當(dāng)面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)任務(wù)或問題時(shí)意識(shí)到自己對(duì)失敗的恐懼）。
4. 自我調(diào)節(jié)能力，包括與個(gè)體認(rèn)知過程的自我調(diào)節(jié)有關(guān)的技能（元認(rèn)知技能或認(rèn)知的自我調(diào)節(jié)，例如計(jì)劃和監(jiān)控個(gè)體解題過程）和調(diào)節(jié)個(gè)體意志過程/活動(dòng)的技能（元意志技能或元意志的自我調(diào)節(jié)，例如保持對(duì)解答某一問題的注意力和動(dòng)機(jī)）。
5. 對(duì)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決持有積極的信念（自我效能信念），對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)生的社會(huì)環(huán)境和對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及問題解決持有積極信念。
以往的研究表明，學(xué)生學(xué)會(huì)的知識(shí)和技能常常在解題時(shí)忘記或不會(huì)使用，建立一個(gè)熟練的學(xué)習(xí)和思維的傾向應(yīng)該能夠幫助學(xué)生克服這個(gè)現(xiàn)象。Whitehead在1929年稱之為“嵌入的知識(shí)”，要克服這個(gè)慣性，需要以整合的方式獲得和掌握各種知識(shí)、技能和信念，以此形成有意養(yǎng)成的傾向。Perkins（1995）認(rèn)為，這種傾向有兩個(gè)關(guān)鍵因素，對(duì)在什么情況下應(yīng)該使用已獲得的知識(shí)和技能的敏感度和傾向。Perkins認(rèn)為，這兩個(gè)因素都由個(gè)體信念所決定。例如，個(gè)體關(guān)于“什么構(gòu)成數(shù)學(xué)背景”的信念和認(rèn)為“什么是有趣的或重要的”觀念對(duì)于個(gè)體敏感的情緒和是否參與其中有很大的影響。
數(shù)學(xué)能力觀與NRC（2001a）報(bào)告中所說的數(shù)學(xué)熟練觀是吻合的，該報(bào)告把熟練定義為五個(gè)不可分割的概念：概念的理解、計(jì)算流暢性、策略能力、靈活推理和有效的傾向。
概念的理解和計(jì)算流暢性是一個(gè)有組織、容易使用的指定領(lǐng)域知識(shí)體系里的兩個(gè)最重要的方面。概念的理解指的是，“理解數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算和關(guān)系”，而計(jì)算的流動(dòng)性是，“靈活地、準(zhǔn)確地、有效地和適當(dāng)?shù)赝瓿捎?jì)算過程”。
策略能力被定義為，“用公式闡述、表達(dá)和解答數(shù)學(xué)問題的能力”，這當(dāng)然意味著啟發(fā)式戰(zhàn)略也包含認(rèn)知的自我調(diào)節(jié)方面。
靈活推理被視為，“邏輯思維、思考、解釋和辯解的能力”，尤其包括認(rèn)知的自我調(diào)節(jié)機(jī)能。
最后，有效的傾向被認(rèn)為是，“把數(shù)學(xué)看作實(shí)用的、有用的和值得做的習(xí)慣性傾向，與一個(gè)人的勤奮信念和效能信念有關(guān)，熟練度的這個(gè)組成部分與先前所說的積極態(tài)度相吻合，但也關(guān)系到對(duì)數(shù)學(xué)的敏感度和傾向。
在NRC（2001a）報(bào)告中，數(shù)學(xué)熟練程度的概念化是非常符合CLIA架構(gòu)中能力部分的闡述。兩個(gè)觀點(diǎn)都體現(xiàn)了Hatano稱作的適應(yīng)的專門技術(shù)，即，在很多熟悉的或不熟悉的場(chǎng)合能靈活地和創(chuàng)造性地應(yīng)用有意義的、掌握的、知識(shí)和能力。不過，目前在NRC的報(bào)告中，在熟練能力的定義中，沒有或至少?zèng)]有明確地包括或表達(dá)“能力分析“的一些方面，即元知識(shí)尤其是意志力的自我調(diào)解能力，這對(duì)集中精力于一個(gè)任務(wù)并堅(jiān)持到底完成它是必不可少的。
數(shù)學(xué)能力的兩個(gè)觀點(diǎn)都強(qiáng)有力地支持的主要一點(diǎn)是不同的，但部分交織在一起，需要綜合地獲得。事實(shí)上，前面五部分的相互依存是報(bào)告的主旨：
“學(xué)習(xí)不是一個(gè)完全有或完全沒有的現(xiàn)象，在學(xué)習(xí)進(jìn)行的過程中，數(shù)學(xué)熟練能力的每個(gè)方面應(yīng)該與其他方面同步發(fā)展，這樣的發(fā)展需要時(shí)間。”
從發(fā)展的角度看，這一觀點(diǎn)具有非常重要的含義。實(shí)際上，它意味著數(shù)學(xué)教育開始的時(shí)候，就必須關(guān)注兒童能力的不同組成部分同樣有被整合的需要。在這點(diǎn)上，我們贊同NRC（2001a）報(bào)告中下面的觀點(diǎn)：
“幼兒園前到八年級(jí)的老師面對(duì)的最有挑戰(zhàn)性的工作之一是看到兒童在每個(gè)方面都取得進(jìn)步而不是一個(gè)或兩個(gè)方面?！?/p>
在這一章的后半部分，通過回顧一些近期闡述兒童發(fā)展的文獻(xiàn)，我們聚焦于能力的幾個(gè)組成部分。由此，我們需要考慮到熟練能力的各個(gè)不同部分的相互依賴：
數(shù)字認(rèn)知、個(gè)位數(shù)計(jì)算和多位數(shù)算術(shù)，它們構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)課程的具體領(lǐng)域知識(shí)；
在詞語問題解決中，除具體的領(lǐng)域知識(shí)外，啟發(fā)式策略和自我調(diào)節(jié)技能，甚至于信念，都會(huì)相互影響，并發(fā)揮了發(fā)揮了重要作用；
還有與數(shù)學(xué)相關(guān)的信念，這是一個(gè)直到最近才得到研究者關(guān)注的主題。先前版本的手冊(cè)中相關(guān)的這些章節(jié)大多沒有關(guān)注兒童數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，當(dāng)時(shí)的焦點(diǎn)是嬰幼兒及學(xué)齡前兒童的發(fā)展。
