先放一張PCA圖

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主成分分析（Principal Component Analysis）
是不是聽起來就一臉懵,下面就讓我們來看看PCA是何方神圣！

01

降維？

主成分分析的字面意思就是用主成分來分析數(shù)據(jù)唄！闊是，什么是主成分？這就不得不聊一個(gè)關(guān)于“降維”的故事了。

“學(xué)醫(yī)要考研，考研要復(fù)試，復(fù)試要…要…要…復(fù)試不僅讓考生心痛更讓導(dǎo)師眼花繚亂?！边@不，A導(dǎo)就糾結(jié)著到底選5個(gè)復(fù)試學(xué)生里的哪一個(gè)來當(dāng)自己的關(guān)門弟子？

A導(dǎo)最終決定用數(shù)據(jù)說話！設(shè)置了“績(jī)點(diǎn)，考研分?jǐn)?shù)，科研能力，筆試成績(jī)，面試表現(xiàn)，英語(yǔ)水平，獎(jiǎng)學(xué)金，學(xué)科競(jìng)賽，部門任職”９個(gè)指標(biāo)（相當(dāng)于從９個(gè)維度去評(píng)價(jià)這5位考生）。
9個(gè)指標(biāo)=9個(gè)變量=9個(gè)維度

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我的三維大腦是搞不定的
看來9維是不行了，那怎么把維度降低，用簡(jiǎn)單的方法表示復(fù)雜的數(shù)據(jù)分析？

當(dāng)然是用降維了！降維是通過減少數(shù)據(jù)中的指標(biāo)（或變量）以化簡(jiǎn)數(shù)據(jù)的過程。這里的減少指標(biāo)，并不是隨意加減，而是用復(fù)雜的數(shù)理知識(shí)，得到幾個(gè)“綜合指標(biāo)”來代表整個(gè)數(shù)據(jù)。

PS：降維的原理涉及復(fù)雜數(shù)理知識(shí)且大多由計(jì)算機(jī)完成

那么問題來了！這個(gè)“綜合指標(biāo)”是什么？為什么它們就可以代表整個(gè)數(shù)據(jù)？

02

Why

主成分？

綜合指標(biāo)=主成分

你沒有看錯(cuò)，這個(gè)綜合指標(biāo)就是我們今天的重點(diǎn)：主成分。它不是原來的指標(biāo)中的任何一個(gè)，而是由所有原有指標(biāo)數(shù)據(jù)線性組合而來。

比如A導(dǎo)的故事中的主成分就可這樣表示：

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認(rèn)識(shí)了“主成分”以后，PCA的概念就很容易理解了！

PCA——就是以“降維”為核心，把多指標(biāo)的數(shù)據(jù)用少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)（主成分）替代，還原數(shù)據(jù)最本質(zhì)特征的數(shù)據(jù)處理方式。

可是，主成分為什么拽到可以代替所有數(shù)據(jù)？
認(rèn)真看看可以發(fā)現(xiàn)部分指標(biāo)其實(shí)是相互關(guān)聯(lián)的！（比如獎(jiǎng)學(xué)金也可以反映績(jī)點(diǎn)情況），這就會(huì)造成數(shù)據(jù)冗余。而降維就可以幫助我們去除這些指標(biāo)中重疊、多余的信息，把數(shù)據(jù)最本質(zhì)和關(guān)鍵的信息提取出來。

A導(dǎo)終于可以一眼就區(qū)分這5位考生的水平并“理智”地做出選擇了！

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將學(xué)生成績(jī)表示為矩陣形式，一行代表一個(gè)學(xué)生，每一列代表一門課的成績(jī)

假設(shè)找到了一個(gè)線性組合(命名為特征矩陣(Yn,?k))，其中k<n
得到一組新變量Pm,?k?=?Xm,?nYn,?k，并且新變量的協(xié)方差矩陣(Dm,?m)為對(duì)角陣。
設(shè)我們有m個(gè)n維數(shù)據(jù)記錄，將其按列排成n乘m的矩陣X，設(shè)

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優(yōu)化目標(biāo)變成了尋找一個(gè)矩陣Y，滿足YTCY是一個(gè)對(duì)角矩陣，并且對(duì)角元素按從大到小依次排列，那么Y的前K列就是要尋找的基，用Y的前K列組成的矩陣乘以X就使得X從M維降到了K維并滿足上述優(yōu)化條件。

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A導(dǎo)可是只有5位考生，9個(gè)指標(biāo)而已！在我們醫(yī)學(xué)中！那可是上千的樣本量，上萬(wàn)的基因數(shù)據(jù)......
在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，我們可以用PCA圖來進(jìn)行疾病危險(xiǎn)因素分析，腸道菌群聚類分析，推斷腫瘤亞群之間的進(jìn)化關(guān)系......還用它來觀察樣本的分組、趨勢(shì)、剔除異常數(shù)據(jù)。

所以PCA圖在文獻(xiàn)中出現(xiàn)率還是蠻高的！??！不過遇到它我們?cè)趺纯矗?br> 深入了解PCA
識(shí)圖秘籍

樣本點(diǎn)連線距離長(zhǎng) =樣本之間差異性大

樣本點(diǎn)連線距離短 =樣本之間差異性小

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1、各樣本點(diǎn)連線的距離：體現(xiàn)各國(guó)家蛋白攝入習(xí)慣的相似性。

2、主成分與原變量之間的關(guān)系：箭頭對(duì)應(yīng)的原始變量在投影到水平和垂直方向上后的值，可以分別體現(xiàn)該變量與PC1和PC2的相關(guān)性（正負(fù)相關(guān)性及其大小）（例如，Eggs對(duì)PC1具有較大的貢獻(xiàn)，而Nuts則與PC1之間呈較大的負(fù)相關(guān)性）。

3、樣本點(diǎn)和箭頭之間的距離：反映樣本與原始變量的關(guān)系。（對(duì)于圖中用藍(lán)色粗箭頭所指的樣本點(diǎn)而言，該國(guó)的蛋白質(zhì)來源主要為Fruits and Vegetables）。
怎么樣？有沒有一種豁然開朗的感覺？

什么？還是懵？

沒關(guān)系，繼續(xù)看例子

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