線(xiàn)性代數(shù)筆記30

奇異值分解

SVD

不用S^{-1}AS特征值分解的原因，是因?yàn)樗扇齻€(gè)問(wèn)題:
1,特征值矩陣常常不是正交的
2,總是沒(méi)有足夠的特征向量
3,Ax=\lambda x需要A是方陣

奇異值矩陣能解決以上三個(gè)問(wèn)題

A\begin{bmatrix}v_1&v_2&...&v_r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1&u_2&...&u_r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1&&&\\& \sigma_2&& \\&& \ddots & \\ &&& \sigma_r \end{bmatrix}
AV=U\Sigma \\ A=U \Sigma V^{-1}=U\Sigma V^T \\ A^TA=V\Sigma^TU^TU\Sigma V^T=V\Sigma^T \Sigma V^T=V \begin{bmatrix} \sigma_1^2&&&\\& \sigma_2^2&& \\&& \ddots & \\ &&& \sigma_r^2 \end{bmatrix} V^T
V,U都是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣
例子

image.png

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A^TA
的特征值和特征矩陣
image.png

這兩個(gè)就是
v_1,v_2

AA^T
則可以找到
u_1,u_2

則 矩陣A可以這么分解
image.png

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