經(jīng)過(guò)前邊的準(zhǔn)備，BSM模型證明過(guò)程中用到的重要公式，已基本都提到，可以進(jìn)入推導(dǎo)了。為便于理解，曲曲菜盡量加解釋，盡量不跳躍。有之前文章知識(shí)的引用，也都說(shuō)明了具體位置。
為減少概念并簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)符號(hào)，推導(dǎo)過(guò)程分為了兩個(gè)部分。其實(shí)也可以說(shuō)第一部分是推導(dǎo)，第二部分只是個(gè)實(shí)例化。
第一部分：推導(dǎo)出了E[max(V-K,0)]的表達(dá)式，并沒(méi)有結(jié)合期權(quán)的場(chǎng)景。
假設(shè)股票未來(lái)某一時(shí)刻T的價(jià)格為V。定義g(V)是V的概率密度函數(shù)，則E[max(V-K,0)]=
（1式）。
由于lnV服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為ω，均值為m。根據(jù)
曲曲菜：【BSM模型】股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，lnE(ST)和E(lnST)的關(guān)系?
最后一段可知，m=E(lnV)=lnE(v)-
。
下面我們定義一個(gè)新的變量:Q=(lnV-m)/ω。因?yàn)閘nV服從正態(tài)分布，ω和m均為常數(shù)，所以Q也服從正態(tài)分布。E(Q)=E((lnV-m)/ω)=(E(lnV)-m)/ω=0。lnV標(biāo)準(zhǔn)差為ω，所以lnV/ω標(biāo)準(zhǔn)差為1，故Q標(biāo)準(zhǔn)差為1?？傻肣服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，Q的概率密度函數(shù)h(Q)=
。
將1式關(guān)于V的積分轉(zhuǎn)換為關(guān)于Q的積分，我們得出：E[max(V-K,0)]=
。減數(shù)被減數(shù)分開(kāi)積分得：
（2式）。
將h(Q)的值代入
，經(jīng)化簡(jiǎn)可得，
=
。由于
正好是Q-ω的概率密度函數(shù)h(Q-ω)，所以
=
。將2式變?yōu)椋?/p>
，可繼續(xù)變換為
（3式）。
定義N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量小于x的累積分布函數(shù)。則3式變換為：
。由于1-N(x)=N(-x)，所以可繼續(xù)變換為：
。將m=lnE(v)-
代入上式后，化簡(jiǎn)得：
。
令d1=
，d2=
，可得：E[max(V-K,0)]=
。將m=lnE(v)-
代入得E[max(V-K,0)]=
。
第二部分：結(jié)合期權(quán)場(chǎng)景，推導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)公式
現(xiàn)在有一個(gè)標(biāo)的股票不支付股息的歐式看漲期權(quán)，如下：
到期時(shí)間：T，
股票當(dāng)前價(jià)格：S0，
股票價(jià)格波動(dòng)率：σ，
股票T時(shí)刻價(jià)格：ST，
無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：r。
現(xiàn)在我們可以寫(xiě)出期權(quán)價(jià)格：c=
（4式），
其中
為風(fēng)險(xiǎn)中性世界的期望值（風(fēng)險(xiǎn)中性世界的期望值，比現(xiàn)實(shí)世界低，因?yàn)闆](méi)有考慮風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)）。
由于假設(shè)ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，根據(jù)
曲曲菜：【BSM模型】股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，lnE(ST)和E(lnST)的關(guān)系?
的2,我們知道lnST的標(biāo)準(zhǔn)差為
。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，股票的期望收益率都為r，結(jié)合
曲曲菜：【BSM模型】股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，lnE(ST)和E(lnST)的關(guān)系
的4，我們可得
。
根據(jù)第一部分的結(jié)論，我們就可以將4式寫(xiě)成：
c =
，或者
c =
其中
d1 =
=
d2 =
=
。
至此，完成了對(duì)BSM模型的推導(dǎo)。
總結(jié)
可以看出，推導(dǎo)過(guò)程主要分為：寫(xiě)出期權(quán)價(jià)格的初始表達(dá)式，將表達(dá)式轉(zhuǎn)換為積分式，對(duì)積分式進(jìn)行變換，推出期權(quán)價(jià)格的最終表達(dá)式。
（Black-Scholes模型的推導(dǎo)，不僅是這一種方式，還可以通過(guò)解微分方程來(lái)推導(dǎo)。）
參考資料
[1] 約翰 赫爾.期權(quán)、期貨及其他衍生品
[2] John Hull.Technical Note 2 Properties of Lognormal Distribution
本文作者：曲曲菜（微信公眾號(hào)：曲曲菜）
知乎專欄：AI和金融模型
原創(chuàng)作品，未標(biāo)明作者不得轉(zhuǎn)載。首發(fā)于微信公眾號(hào)：曲曲菜。
原文地址：
【BSM模型】Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)?
