第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

一、基本概念

1.基本導(dǎo)數(shù)：函數(shù)f(x)在x=x_{0} 處可導(dǎo)，記作f^,(x_{0} )或\frac{dy}{dx} ，\frac{dy }{dx} =f^,(x_{0} )=\lim_{x_{0}\to0} \frac{f(x-x_{0} )-f(x)}{x_{0} }

2.高階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)f(x)在x=x_{0} 處二階可導(dǎo)，記作f^"(x_{0} )或\frac{d^2y }{dx^2}

3.可微：dy=f^,(x)dx

二、導(dǎo)數(shù)理論

1.導(dǎo)數(shù)基本公式

2.三角函數(shù)和反三角函數(shù)求導(dǎo)公式

3.高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式：（1）(sinx)^n=sin(x+\frac{n\pi }{2 } )

??????????????????????????????????? （2）(cosx)^n=cos(x+\frac{n\pi}{2} )

??????????????????????????????????? （3）(\frac{1}{ax+b} )^n=\frac{(-1)^nn！a^n}{(ax+b)^n}

????????????????????????????????????? (4)?? (uv)^n=C_{n}^0u^nv+C_{n}^1u^{n-1}v^\prime+……+C_{n}^nuv^n

4.反函數(shù)與原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：x=\varphi (y)為y=f(x)的反函數(shù)

????????????????????????????????????????????????? （1）\varphi^,(y)=\frac{1}{f^,(x)}

????????????????????????????????????????????????? （2）\varphi "(y)=-\frac{f"(x)}{f^3(x)}

5.導(dǎo)數(shù)及其絕對值導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

?? （1）f(x)在x=a處連續(xù)\Rightarrow \vert f(x) \vert 在x=a處連續(xù)

?? （2）f(x)在x=a處可導(dǎo) : f(x)\neq00\Rightarrow \vert f(x) \vert 在x=a處可導(dǎo)

????????????????????????????????????????f(x)=0 \Rightarrow f^\prime(a)=0\Rightarrow \vert f(x) \vert 在x=a處可導(dǎo)

????????????????????????????????????????????????????????? \Rightarrow f^\prime(a)\neq 0\Rightarrow \vert f(x) \vert 不可導(dǎo)

6.參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

????????? y=f(x)由x=\varphi(t)和y=\phi(t)確定，其中\varphi(t)和\phi(t)二階可導(dǎo)，且\phi^\prime(t)\neq 0,則

????????????????????????????????????????????????????????? \frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt } =\frac{\varphi^\prime(t)}{\phi^\prime(t)} ,

?????????????????????????????????????????????????????????? \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d(\frac{dy}{dx} )/dt}{dx/dt } =\frac{\varphi^"(t)}{\phi^"(t)}

???????????????????????????????????????????????????????????

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