生物統(tǒng)計學 | Fisher精確檢驗

最近論文吃緊，本來想搞搞群體多樣性的，無奈沒時間，為了保持簡書上我這個號殘余的一點熱乎氣，今天晚上分享一篇8年前寫的舊文，主要講Fisher檢驗的，有些不盡如意的地方稍作了一點點修改，措辭、語句、參考文獻等等。

0 導語

大約是2005年冬天，高中同學再寫給我的信中說他掛了一科，并且自我安慰道：“不掛科怎么是完美的大學生涯呢？”
我那個時候還暗自慶幸自己，期末考試成績時常游走于60-70分之間，但還沒掛過。
也許是注定要有一個“完美”的大學生涯。
就是第二個學期，即2006年夏天，我終于完美了一把，《生物統(tǒng)計學》掛了。
具體原因不再贅述，反正呢，你要是說是我笨我是肯定不同意的。
通過了那次補考之后，不禁暗自慶幸，終于啊，可惡的“生物統(tǒng)計學“與我，不僅僅是它走它的陽關(guān)道，我過我的獨木橋，而且兩者之間再也不會有任何交集，即獨立且互不相容。
然而，上天很會捉弄人，時至今日，我卻喜歡上了生物統(tǒng)計學，這其中原因說來話長，這里也不再贅述，總之一句話：”我是愛《生物統(tǒng)計學》的，可是我掛科了，難道非要自絕于社會不可了么？”

深夜的508，何其寂靜，沒有群蚊肆虐，沒有酷暑難當，真想在在整上一個通宵，無奈已經(jīng)沒了本科時代的那種白天考研備戰(zhàn)，晚上浸淫世界杯的那種豪情，更無奈的是明天還要上班。
雖然快11點啦，但今天還是打算分享點東西再回窩睡覺。

1 超幾何分布和奶茶

首先介紹一種離散概率分布——超幾何分布：有N個樣本，其中m個是不合格的。超幾何分布描述了在該N個樣本中抽出n個，其中k個是不合格樣本的概率：

P(X=k) = \frac{C_{M}^k C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^n }?????? (0≤k≤n≤N, k≤M)

上式可如此理解：C_{N}^n 表示所有在N個樣本中抽出n個的方式有多少；C_{M}^k表示在M個樣本中抽出k個的方式的總數(shù)；剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有N-m個，剩下的抽法便有C_{N-M}^{n-k}種。兩者相乘就表示抽出k個是無效的有多少種抽法，而除以抽法總數(shù)即C_{N}^n 就表示抽出的n個樣本中有k個不合格樣本的概率P(X=k)。

1935年的一個實驗：偉大的Fisher得知一個女同事能夠從口味分辨出下午茶的調(diào)制順序，為了驗證女同事是否在吹牛，做了一個有趣的實驗：他調(diào)制了8杯茶，其中4杯先放牛奶，4杯先放茶，讓女同事分辨，分辨的結(jié)果如下表：

事實上，根據(jù)小學數(shù)學知識，在已知了a=3和a+b=c+d=a+c=b+d=4這兩個條件以后，b，c，d和n的值也就能求出來了，所以我們只需要計算在a+b=c+d=a+c=b+d=4已發(fā)生的情況下a=3的概率（事實上選擇a，b，c，d都可以得到同樣的效果）：

P(a=3|a+b=c+d=a+c=b+d=4)=\frac{C_{a+b}^a C_{c+d}^c}{C_{n}^{a+c}}

接著我們可進一步的算出比表格中極端情況（ 在此指Fisher的同事猜得更加準確時） 的概率：

P(a = 4 | a + b = c + d = a + c = b + d = 4) = 0.014

如果全部推測對，瞎猜得到這種結(jié)果的可能是1.4%，由于此概率小于0.05，屬于小概率事件，而事實是小概率事件她都猜對了，說明她不是瞎猜的。
因此我們可以再計算出P值：

P(a ≥ 3 | a + b = c + d = a + c = b + d = 4) = 0.229 + 0.014 = 0.243

女同事如果是瞎猜的，那么她瞎猜得到這種結(jié)果的概率為24.3%，這個概率依然很高，不屬于小概率事件，因此無法推測女同事不是胡亂猜的。
這個跟超幾何分布有什么關(guān)系呢？哎，公式都一樣的，往里代就是啦！
不過區(qū)別是，超幾何分布是隨機地抽取，但是本例的抽取是依據(jù)女同事的判斷抽取，但一件事情由隨機變成了有依據(jù)，那就需要利用P值來判斷這種依據(jù)的可靠性啦。

2 一個實際案例

我們看一個實際的案例：
一般大眾的猜測是：大學生節(jié)食的比比男生高。因此我們設(shè)定的虛無假設(shè)為H0：大學生與男生節(jié)食的比相同，對假設(shè)為Ha：大學生節(jié)食的比比男生高。

計算P值。
P(a ≤ 1 | a+b=10,c + d =14, a + c =12, b + d = 12) =\frac{C_{10}^1 C_{14}^{11}+C_{10}^0 C_{14}^{12}}{C_{24}^{12}}

這里我不再說什么，因為P<0.01，所以大學生節(jié)食的比比男生高。

3 Fisher精確檢驗的基因組學應用

步入正題，涉及到基因組學的內(nèi)容啦！
水稻項目統(tǒng)計了基因A位點變異與水稻是否易感稻瘟病的資料如下：

依上表，易感稻瘟病的樣本中野生型似乎遠比變異型為高，因此設(shè)定零假設(shè)為H0：基因型與稻瘟病易感性無關(guān)，備擇假設(shè)為Ha：野生型更易感染稻瘟病。則我們可依上表中的資算出單邊的p 值。

P(a ≤ 1 | a+b=11,c + d =13, a + c =10, b + d = 14) =\frac{C_{11}^1 C_{13}^{9}+C_{11}^0 C_{13}^{10}}{C_{24}^{10}}

因為P<0.01，即基因A位點變異是有利突變。
業(yè)務(wù)線時代的我曾經(jīng)想過下面幾條，
Fisher精確檢驗的應用如下：
1.研究基因型與基因表達的關(guān)系：如SNP與其臨近的基因表達上調(diào)/下調(diào)之間的關(guān)系
2.研究基因型與表型的關(guān)聯(lián)性：如變異位點與相關(guān)性狀的關(guān)系檢驗
3.研究表型與表型的關(guān)聯(lián)性：如男性手指的長度與前列腺癌發(fā)病率的關(guān)系

PS：本文言語簡陋，比較粗糙，但是已盡述我的理解。
這正如上衣半截袖，下面三五七分褲，拖鞋，一身終極殺人王火云邪神的裝備，并非華麗的西裝革履，——一看就知這是我們信息部的弟兄們的標準配置；也正如linux系統(tǒng)，一切皆為丑陋的命令行，雖然比不上windows那種高帥富的圖形界面，但比之丑陋的0,1似乎好看多了。
本為自用筆記，弟兄們?nèi)绻矚g，歡迎拍磚探討。

布萊特楊
2012年5月6日 22:49

備注
2012年5月6日首發(fā)于QQ空間《我愛統(tǒng)計學之Fisher精確檢驗》
2020年5月18日 發(fā)表于e媛微生態(tài)《生物統(tǒng)計學 | Fisher精確檢驗》

最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時請結(jié)合常識與多方信息審慎甄別。
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容