5.Barro (1979)'s Tax Smoothing Model

????????在給定政府支出時(shí)，假定政府最小化當(dāng)前的超額收稅壓力

? ? ? ? 在取消總量稅的情況下，政府應(yīng)當(dāng)尋求最小化其比例稅的福利損失，這些福利損失被假定為遞增且凸的關(guān)于平均稅率的時(shí)變函數(shù)

? ? ? ? 特別地，設(shè)政府的主觀效用函數(shù)為： $\min_{\{\tau_t,B_{t+1}\}}\mathbb{E}_0[\sum_{t=0}^\infty\beta^t(\frac{1}{2}\tau_t^2)]$

? ? ? ? 有預(yù)算約束： $B_{t+1}=RB_t+G_t-\tau_tY_t\quad(61)$

? ? 其中 $\mathbb{E}_0$ 是政府在零時(shí)刻可獲得信息上的條件期望， $\beta$ 是政府的主觀折舊率， $\tau_t$ 是比例稅率， $B_t$ 是政府借貸， $G_t$ 是政府支出， $Y_t$ 是真實(shí)GDP， $R$ 是利率

? ? ? ? 根據(jù)Ghosh (1995)，假定 $Y_t$ 增長(zhǎng)率 $n$ 為常數(shù)，則等式 $(61)$ 可寫為：

$Rb_t+g_t-\tau_t=(1+n)b_{t+1}\quad(62)$

? ? ? ? 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

$L=\mathbb{E}_0\{\sum_{t=0}^\infty\beta^t[-\frac{1}{2}\tau_t^2+\lambda_t((1+n)b_{t+1}-Rb_t-g_t+\tau_t)]\}$

? ? ? ? 一階條件為： $\begin{align*}\tau_t&=\lambda_t\\(1+n)\lambda_t&=\beta R\mathbb{E}_t\lambda_{t+1}\end{align*}$

? ? ? ? 意味著： $\tau_t=\frac{\beta R}{1+n}\mathbb{E}_t\tau_{t+1}\quad(63)$

? ? ? ? 采用約束 $\frac{\beta R}{1+n}=1$ ，我們有Barro的結(jié)論，即最優(yōu)比例稅率應(yīng)滿足隨機(jī)游走模型

? ? ? ? 由等式 $(62)$ 迭代得跨時(shí)預(yù)算約束：

$\sum_{j=0}^\infty(\frac{1+n}{R})^jg_{t+j}+Rb_t=\sum_{j=0}^\infty(\frac{1+n}{R})^j\tau_{t+j}\quad(64)$

? ? ? ? 則有Barro (1979)的永恒政府支出理論：

$\tau_t=(1-\beta)R[b_t+\frac{1}{R}\sum_{j=0}^\infty(\frac{1+n}{R})^j\mathbb{E}_tg_{t+j}]\quad(65)$

? ? ? ? 假定政府支出滿足AR(1)過(guò)程，即：

$g_t=(1-\rho_g)\overline{g}+\rho_g g_{t-1}+\varepsilon_t\quad(66)$

? ? 其中 $\rho_g\in[0,1]$ 且 $\varepsilon_t\sim i.i.d.\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ ，我們有：

$\begin{align*}\mathbb{E}_tg_{t+j}&=(1-\rho_g^j)\overline{g}+\rho_g^jg_t\\\rho_g^j\varepsilon_t&=(\mathbb{E}_t-\mathbb{E}_{t-1})g_{t+j}\end{align*}$

? ? ? ? 簡(jiǎn)化 $n=0$ ，將 $(66)$ 代入 $(65)$ ，得：

$\tau_t=(R-1)[b_t+\frac{1-\rho_g}{(R-1)(R-\rho_g)}\overline{g}+\frac{1}{R-\rho_g }g_t]$

? ? ? ? 進(jìn)而有： $\Delta \tau_t=\frac{R-1}{R-\rho_g}\varepsilon_t\quad(67)$

? ? ? ? 政府赤字為：

$def_t=b_{t+1}-b_t=(R-1)b_t+g_t-\tau_t=\frac{1-\rho_g}{R-\rho_g}(g_t-\overline{g})\quad(68)$

? ? ????即政府赤字與政府支出正相關(guān)

? ? ? ? 考慮兩種特殊情況：

? ? ①政府支出沖擊是永久的，即 $\rho_g=1$ ，比如教育保障和醫(yī)療保障支出

????????則有 $\Delta\tau_t=\varepsilon_t,def_t=0$ ，說(shuō)明政府最好用稅收吸收永久沖擊的支出

? ? ②政府支出沖擊是片刻的，即 $\rho_g=0$ ，比如失業(yè)補(bǔ)助和自然災(zāi)害支出

? ? ? ? 則有 $\Delta\tau_t=\frac{R-1}{R}\varepsilon_t,def_t=\frac{1}{R}\varepsilon_t$ ，說(shuō)明沖擊的 $\frac{R-1}{R}$ 由稅收吸收， $\frac{1}{R}$ 由債務(wù)吸收，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=R%5Crightarrow1" alt="R\rightarrow1" mathimg="1">，所以沖擊主要由債務(wù)吸收

? ? ? ? 對(duì)等式 $(66)$ 使用滯后算子，得： $g_t=\frac{1-\rho_g}{1-\rho_gL}\overline{g}+\frac{1}{1-\rho_gL}\varepsilon_t$

? ? ? ? 進(jìn)而有： $\Delta g_t=\frac{1}{1-\rho_gL}\varepsilon_t-\frac{1}{1-\rho_gL}\varepsilon_{t-1}=\varepsilon_t+(\rho_g-1)\sum_{j=0}^\infty\rho_g^j\varepsilon_{t-j-1}$