最近有網(wǎng)友問我關(guān)于初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)求最值的方法問題。下面我針對(duì)這方面的問題做了一個(gè)小小的總結(jié)。希望對(duì)需要的朋友有所幫助。
那么是關(guān)于什么樣的動(dòng)點(diǎn)求最值的問題呢？我想各位朋友都曾遇到過著名的“將軍飲馬”問題。今天的這個(gè)話題就是針對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行一個(gè)匯總整理。下面我們?cè)賮碇匦禄仡櫼幌逻@個(gè)著名的“將軍飲馬”問題。
傳說古羅馬亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者。一天，以為羅馬將軍專程去拜訪他，向這位學(xué)者請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天從軍營出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍機(jī)營帳開會(huì)，應(yīng)該如何安排行程才能使路程最短？
關(guān)于這道題，我們根據(jù)題意可以確定，軍營和軍機(jī)營帳是兩個(gè)確定的定點(diǎn)，這里在河邊的什么位置選擇飲馬這是一個(gè)不確定的動(dòng)點(diǎn)，也就是說確定一個(gè)點(diǎn)，使得三點(diǎn)的連線距離最短也就是兩個(gè)線段的相加和最短。我們畫個(gè)簡圖來大致感受一下。
根據(jù)圖中的信息，可以簡化成這樣一幅圖。
做B點(diǎn)關(guān)于河岸對(duì)稱點(diǎn)F，從圖中我們看出在河流上任意取一點(diǎn)M,B點(diǎn)到其距離都等于M點(diǎn)到其的距離。因此，我們連接AF，交河流于D點(diǎn)，那么AB與其組成的距離可以表示為AD+DB=AD+DF,我們分別在D點(diǎn)的左右兩邊任取兩點(diǎn)CE,其這兩點(diǎn)組成的AB距離分別都大于D點(diǎn)。所以D點(diǎn)為兩個(gè)定點(diǎn)圍繞動(dòng)點(diǎn)變化的最短距離之點(diǎn)。
總結(jié)：
將軍飲馬問題實(shí)際就是線段之和最短的問題。可以做其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后讓另外的一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行連接對(duì)稱點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)所在的位置。
延伸拓展：
動(dòng)點(diǎn)求最值的其他模型問題
1.如圖，直線l和直線l兩側(cè)點(diǎn)A、B,在直線l上做一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。
我們都知道，兩點(diǎn)確定一條直線，當(dāng)然兩點(diǎn)連線直線度最短。直接連接AB兩點(diǎn)，所得線段最短。所以連接AB兩點(diǎn)，與直線相交的P點(diǎn)，即為最短距離點(diǎn)。
2.如圖，直線l和直線l同側(cè)的兩點(diǎn)A、B，在直線l上求做一點(diǎn)P，使得PA+PB距離最短。
這個(gè)問題就是我們已經(jīng)講過的問題。
3.如圖，點(diǎn)P是銳角∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM,ON上做點(diǎn)A、B,使得△PAB周長最小。
這個(gè)題目的解法就是分別做P點(diǎn)關(guān)于ON、OM的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)即可。
4.如圖，點(diǎn)P、Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM、ON上取兩點(diǎn)A、B，使得四邊形PAQB的周長最小。
同樣的方法，分別做P點(diǎn)關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)，Q關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩對(duì)稱點(diǎn)與OM、ON分別交A、B兩點(diǎn)，即為周長最短的點(diǎn)。
關(guān)鍵點(diǎn)：
做這類題目的時(shí)候，首先要明白幾個(gè)概念：動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一般是題目中所要求的點(diǎn)，即那個(gè)不確定點(diǎn)；定點(diǎn)即題目中固定的點(diǎn)；對(duì)稱點(diǎn)，作圖所得的點(diǎn)，需要連接線段的點(diǎn)。
關(guān)鍵點(diǎn)1.怎么對(duì)稱，作誰的對(duì)稱?
通常來說，題目需要作對(duì)稱的點(diǎn)，都是題目中的定點(diǎn)?；蛘哒f只有定點(diǎn)才可以去作對(duì)稱的。再就是要明確關(guān)于對(duì)稱的對(duì)象肯定是一條線，而不是一個(gè)點(diǎn)。那么是哪一條線?一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直線。
關(guān)鍵點(diǎn)2.對(duì)稱完以后和誰連接?
一般來說，都是和另外一個(gè)定點(diǎn)相連。只有和另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接，才會(huì)確定所要求得的未知點(diǎn)，也就是所謂的動(dòng)點(diǎn)。絕對(duì)不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連，那樣會(huì)沒有意義。明確一個(gè)概念:定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn)。例如模型二和模型三。
關(guān)鍵點(diǎn)3.所求點(diǎn)怎么確定?
首先一定要清楚，所求點(diǎn)最后表現(xiàn)在圖上一定是個(gè)交點(diǎn)。實(shí)際就是我們所畫直線和已知直線的交點(diǎn)。
好了，關(guān)于動(dòng)點(diǎn)求最值問題，我們就分享到這里，如果有什么問題，或者什么疑惑可以留言，我一定會(huì)認(rèn)真幫忙。
