大物 第七講 張云愷

第七講：機械能守恒定律

數(shù)學(xué)符號

滑動摩擦系數(shù)為 \mu

對應(yīng)的代碼為

$\mu$

知識點

  • 勢能

    • 重力勢能： E_p=mgz

    • 彈性勢能：E_p =\int_{a}^{kx }dx=\frac{1}{2}kx^2|_a^b

    • 萬有引力勢能：E_p =\int_a^b{G}\frac{Mm}{r^2}dr=-G\frac{Mm}{r}|_a^b

  • 保守力的功

    • 直觀感受：

      • 保守力做功，將使得機械能在各物體之間轉(zhuǎn)移，而無增減。

      • 外力對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)機械能增加。

      • 內(nèi)部摩擦力做功，系統(tǒng)機械能減少。

    • 保守力包括：

    • 重力的功：W=mgz_{初}-mgz_{末}

    • 彈性的功：W=\frac{1}{2}kx_初^2-\frac{1}{2}kx_末^2

    • 萬有引力的功：W=-G\frac{Mm}{r_初}-（-G\frac{Mm}{r_末}）

  • 機械能守恒定律

    • 條件：外力與內(nèi)部摩擦力對系統(tǒng)做總功為零

    • 合外力為零，機械能守恒嗎？請舉出反例。
      不一定守恒:非彈性碰撞

  • 機械能不守恒的處理

例題

  • 例1.

    如圖所示。M處于彈簧原長度處，手托著m，使得繩子處于蹦緊狀態(tài)，整個系統(tǒng)靜止。現(xiàn)在松手，讓m下降x的距離。求m的速度v(x)。

g4280.png

  • 若不計摩擦力，請從功能的角度，分析能量的轉(zhuǎn)移，并列出能量轉(zhuǎn)移方程。

  • 若滑動摩擦系數(shù)為\mu，請從功能的角度，并分析能量轉(zhuǎn)移方程。

解答：
(1)，對整個系統(tǒng)運用動能守恒定律：
mgx=\frac{1}{2}(M+m)v_{(x)}^2+\frac{1}{2}kx^2\color{blue}{(k為彈簧的勁度系數(shù))}
解得：\color{red}{v_{(x)}=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2}{M+m}}}
（2）,對整個系統(tǒng)運用動能守恒定律：
mgx=\frac{1}{2}(M+m)v_{(x)}^2+\frac{1}{2}kx^2+\mu{Mgx}
解得：\color{red}{v_{(x)}=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2-\mu{Mgx}}{m+M}}}\color{blue}{ 注：（mg>\mu{Mg})}

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