矩陣乘法

矩陣rc表示一個(gè)r行c列的矩陣，兩個(gè)矩陣A(r1c1)和B(r2c2)相乘有意義的條件是c1等于r2，相乘后得到一個(gè)(r1c2)的矩陣。
畫個(gè)圖來看一下：

矩陣乘法

矩陣乘法有什么用

用處肯定很多，但這里我們研究的是它在圖形學(xué)里的平移，縮放等變換功能。在這里我們只研究二位空間里的情況，也就是平面圖形。
首先思考一個(gè)問題：如何平移一個(gè)平面圖形？
答案很簡單，那就是把它的每個(gè)頂點(diǎn)都平移，整個(gè)圖形自然就移動(dòng)了。
那如何用矩陣來實(shí)現(xiàn)這個(gè)操作呢？
首先就是把它的頂點(diǎn)都存儲(chǔ)進(jìn)矩陣?yán)?，如下圖

頂點(diǎn)矩陣

為什么要這么放？因?yàn)橐镁仃嚦朔ò?，由前面的乘法特性可以看出，要想乘法有意義，需要矩陣1的列數(shù)等于矩陣2的行數(shù)，由于是二位空間圖形，變換矩陣可以是一個(gè)2 * 2的矩陣，這樣就能滿足我們的需求。
等等，這樣真的能滿足需求么？根據(jù)乘法的算法，結(jié)果中任一單元都是變換矩陣某值和x坐標(biāo)的乘積加上變換矩陣某值和y坐標(biāo)的乘積，這里先不考慮x和y都是變量，我們按砝碼去想，x和y是兩種可能不是1的砝碼，我們的結(jié)果只能是由兩種砝碼的若干倍之和組成，這樣顯然不能保證拼湊出所有正值，而我們的圖形平移的值域肯定是整個(gè)正數(shù)范圍。
這種情況怎么辦？好辦，加個(gè)常數(shù)表示偏移量。按照這種思路，用s表示偏移量，則表示二位空間的圖形可以用如下頂點(diǎn)矩陣：

帶偏移量的頂點(diǎn)矩陣和對(duì)應(yīng)的變換矩陣

這種情況下，我們先假設(shè)變換矩陣是一個(gè)3 * 3的矩陣，再看看能發(fā)現(xiàn)些什么。使用矩陣乘法用變換矩陣去改變頂點(diǎn)矩陣，得到的結(jié)果中，任一位置的結(jié)果都是由原位置的x值和y值和常量拼湊成的。根據(jù)矩陣乘法的規(guī)則可以得出，在上圖變換矩陣中：
a：變換后x值中原x的倍數(shù)，控制x縮放
b：變換后x值中原y的倍數(shù)，控制x切變拉伸
c：變換后x值中常量的倍數(shù)，控制x偏移
d：變換后y值中原x的倍數(shù)，控制y切變拉伸
e：變換后y值中原y的倍數(shù)，控制y縮放
f：變換后y值中常量的倍數(shù)，控制y偏移
g：變換后常量值中原x的倍數(shù)
h：變換后常量值中原y的倍數(shù)
i：變換后常量值中原常量的倍數(shù)
可以看出，如果sn全部取1的話，我們用變換矩陣可以把原值變成任意正整數(shù)，不過頂點(diǎn)之間的相對(duì)關(guān)系約束還是沒法打破的。另外，g、h和i其實(shí)沒什么意義，所以變換矩陣用2 * 3足矣。
寫到這里，平移操作就沒什么難度了吧？如果想x軸平移，就改變c的值，如果想y軸平移，就改變f的值。
寫到這里可能有人要問：那我改b的值不也是x軸平移么？錯(cuò)！對(duì)于任一頂點(diǎn)，x的值可以是不同的，如果你改了b的值，那結(jié)果就是不同頂點(diǎn)在x軸上的平移位置不一定相同，那么對(duì)于整個(gè)圖形來說，這就不是平移，而是形變。改變a、b、d、e中任意一個(gè)值，都是形變，具體怎么形變的，有興趣可以自己試試。
最后加一句，矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以對(duì)于比較復(fù)雜的變換，可以將其分解為基本的平移、旋轉(zhuǎn)等，再相乘得到變換矩陣。