冒泡~十二月啦！艱難的十一月總算是熬過(guò)去，十二月希望少熬一點(diǎn)吧（不可能）。
【題外話：傅里葉變換講道理應(yīng)該是大一高數(shù)就學(xué)習(xí)，然而當(dāng)時(shí)的老師因?yàn)榭荚嚥豢季头艞壛私虒W(xué)，于是乎現(xiàn)在的我學(xué)起來(lái)真是惡補(bǔ)的痛苦】
傅里葉變換
傅里葉變換實(shí)質(zhì)涉及的是頻域函數(shù)和時(shí)域函數(shù)的轉(zhuǎn)換。
概念解釋
a.先引入時(shí)域和頻域這兩個(gè)概念的解釋。
時(shí)域
時(shí)域是真實(shí)世界，是惟一實(shí)際存在的域。可以這樣理解，從我們出生開(kāi)始，所接觸的這個(gè)世界就是隨著時(shí)間在變化的，是在運(yùn)動(dòng)的。
頻域
頻域它不是真實(shí)的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。如果說(shuō)時(shí)域是惟一客觀存在的域，那么頻域是一個(gè)遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇，頻域也被一些學(xué)者稱為上帝視角。結(jié)合上面對(duì)時(shí)域的理解，如果時(shí)域是運(yùn)動(dòng)永不停止的，那么頻域就是靜止的。
正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對(duì)頻域的描述，因?yàn)轭l域中的任何波形都可用正弦波合成。
通過(guò)圖片來(lái)直觀解釋：
在時(shí)域里面，一段音樂(lè)是什么？是一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)（我們可以觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)）。
相比較，在頻域里面，一段音樂(lè)又是什么？是一個(gè)個(gè)音符，是樂(lè)譜。音符的個(gè)數(shù)是有限且固定的，但可以組合出無(wú)限多的樂(lè)曲。
b.接下來(lái)再講解兩個(gè)概念 ：頻譜和相位譜
頻譜
在這里先引入一個(gè)通俗的解釋：
如上圖所示：
第一幅圖是一個(gè)余弦波 cos（x）
第二幅圖是 2 個(gè)余弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅圖是 4 個(gè)余弦波的疊加
第四幅圖是 10 個(gè)余弦波的疊加
那么問(wèn)題來(lái)了：
隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，那么可以推出什么？
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。
接下來(lái)我們換一個(gè)角度來(lái)看看：
從側(cè)面看就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜。
對(duì)比展示：
可以看出，從時(shí)域來(lái)看，我們會(huì)看到一個(gè)近似為矩形的波，而我們知道這個(gè)矩形的波可以被差分為一些正弦波的疊加。而從頻域方向來(lái)看，我們就看到了每一個(gè)正弦波的幅值，可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。
正面--時(shí)域圖像 側(cè)面--頻域圖像
動(dòng)圖展示：
相位譜
頻譜只代表了一個(gè)正弦函數(shù)的幅值，而要準(zhǔn)確描述一個(gè)正弦函數(shù)，我們不僅需要幅值，還需要相位，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。
頻譜的重點(diǎn)是側(cè)面看，相位譜的重點(diǎn)則是從下面看。
如上圖所示：投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示，紅色的點(diǎn)表示離正弦函數(shù)頻率軸最近的一個(gè)峰值，而相位差就是粉色點(diǎn)和紅色點(diǎn)水平距離除以周期。將相位差畫(huà)到一個(gè)坐標(biāo)軸上就形成了相位譜。
【這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。】
傅里葉變換
為什么需要傅里葉變換？
如下圖所示：上面我們能看到的僅僅是一個(gè)類似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規(guī)律變化。如何記載這個(gè)波形的信息呢?尤其是量化的記載!是很困難的。那么這個(gè)時(shí)候引入傅里葉變換就可以得到一個(gè)頻譜（幅值譜），主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然!
傅里葉變換是一種信號(hào)分析方法，讓我們對(duì)信號(hào)的構(gòu)成和特點(diǎn)進(jìn)行深入的、定量的研究。
把信號(hào)通過(guò)頻譜的方式(包括幅值譜、相位譜和功率譜)進(jìn)行準(zhǔn)確的、定量的描述。
這就是傅里葉變換的主要目的。
（具體分析可參考：（https://www.sohu.com/a/224533027_99907714））
公式定義：
可以這樣理解，
①為頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時(shí)間域的函數(shù)f（t）的積分形式
②為時(shí)間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分
傅里葉變換過(guò)程圖解：
具體看參考（https://blog.csdn.net/qq_33414271/article/details/79117586）
其他性質(zhì)
Matlab實(shí)現(xiàn)（頻譜和相位譜）
%% 二維傅立葉變換
%讀取圖片
I=imread('Naruto.jpg');
img=rgb2gray(I);
%幅值圖和相位譜
%進(jìn)行傅立葉變換
f=fft2(img); %傅里葉變換
f=fftshift(f); %使圖像對(duì)稱,中心化
r=real(f); %圖像頻域?qū)嵅?i=imag(f); %圖像頻域虛部
margin=log(sqrt(r.^2+i.^2)); %圖像幅度譜，加log便于顯示
phase=real(angle(f)*180/pi); %圖像相位譜
figure
subplot(1,3,1),imshow(img),title('源圖像');
subplot(1,3,2),imshow(margin,[]),title('圖像幅度譜');
subplot(1,3,3),imshow(phase,[]),title('圖像相位譜');
參考（https://blog.csdn.net/qq_33414271/article/details/79117586）
（https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/math/fouriertransforms.html#responsive_offcanvas）
Ending~在自我理解的基礎(chǔ)上完成了資料的搬運(yùn)是很不容容易了！
十二月加油鴨！
