通俗易懂的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換(一)

1， 什么是傅里葉級(jí)數(shù)

什么是級(jí)數(shù)？

????級(jí)數(shù)是指將數(shù)列的項(xiàng)依次用加號(hào)連接起來(lái)的函數(shù)。舉例就是:
\sum_{n=1}^\infty 1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+......+1/n^2
????這種由很多項(xiàng)相加的形式就是級(jí)數(shù)。

????對(duì)于函數(shù)就是如下這個(gè)形式：
f(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)

如何用級(jí)數(shù)表達(dá)一個(gè)周期函數(shù)

????在工程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的周期性的波形。這些波形很難找到一個(gè)函數(shù)去表達(dá)他，或者原函數(shù)無(wú)法很好的去分析波的特征。

image.png

????所以我們需要找到一個(gè)函數(shù)g(x)去近似原函數(shù)f(x)，而且這個(gè)g(x)有很好的特性，方便去做分析。

????法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉就發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示。
????看一個(gè)動(dòng)圖來(lái)理解下這句話。


Fourier_series_square_wave_circles_animation

????右邊的波形就是由左邊幾個(gè)基礎(chǔ)波形(三角函數(shù))合成的。

????下面給出傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)公式。
f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )

原函數(shù)f(x)就由無(wú)數(shù)個(gè)\sin,\cos組成的。這個(gè)公式理解起來(lái)也很簡(jiǎn)單，\frac{a_0}{2}是個(gè)常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)檎液陀嘞液瘮?shù)都是在0點(diǎn)位置上下波動(dòng)，想要讓其脫離0點(diǎn)，就必須加入\frac{a_0}{2}這個(gè)偏移項(xiàng)，當(dāng)然你也可以理解為\frac{a_0}{2}\cos(0x)。
\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )便是無(wú)數(shù)個(gè)sin和cos的組合，其中a_n,b_n就相當(dāng)于上面動(dòng)圖中的\frac{4}{\pi },\frac{4}{3\pi },\frac{4}{5\pi },\frac{4}{7\pi } 代表著振幅，也就是圓半徑的大小。\frac{2\pi n}{T}就相當(dāng)于動(dòng)圖中的\theta前的系數(shù)1，3，5，7代表著頻率，也就是圓轉(zhuǎn)一圈用的速度。so，是不是很容易理解。
????\frac{2\pi n}{T}代表這頻率，那其中的T代表著什么呢？T就是函數(shù)f(x)的周期，\frac{2\pi n}{T}的作用就是構(gòu)建一個(gè)周期為T的波形，只是隨著n的增大，波的頻率越來(lái)越高。例如\sin(x),\sin(2x)都是周期2\pi的函數(shù)，只是\sin(2x)的最小周期不在是2\pi，所以其頻率就變大了。

image.png

????這里強(qiáng)調(diào)下，傅里葉級(jí)數(shù)是針對(duì)周期函數(shù)的，對(duì)于非周期的函數(shù)就是傅里葉變換了。

????很多博主在解讀傅里葉級(jí)數(shù)的時(shí)候，上來(lái)就說(shuō)時(shí)域，頻閾，復(fù)頻域，歐拉公式。其實(shí)那些都是在不同場(chǎng)景下的不同的表現(xiàn)形式，本質(zhì)都是一樣的。先理解了上面的公式，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行展開(kāi)，會(huì)更加容易理解。

2，如何求解

????還記得我們的目標(biāo)嗎？找出一個(gè)函數(shù)g(x)去近似原函數(shù)f(x)，g(x)樣子已經(jīng)有了：
f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )

????我們只需要求出a_0,a_n,b_n就可以得到g(x)。

????所以這里有個(gè)前提，我們?cè)诳聪滦枰蠼獾牟ㄐ危?/p>

image.png

????對(duì)于原函數(shù)f(x)是什么樣的我們并不知道，但我們知道f(x)在每個(gè)x處的取值，畢竟這個(gè)波是我們自己采樣得到的。

C_1= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )
C_2= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )
C_3= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )
......
C_n= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )

????所以求解g(x)最簡(jiǎn)單得方法就是，構(gòu)建n個(gè)g(x)=C_n方程等式，求解一個(gè)n元一次方程，如上面所示。這里C是常數(shù)，n得數(shù)量由自己定義。

????當(dāng)然上面是小學(xué)生的解法，大家不要當(dāng)真。
????在給大家介紹傅里葉級(jí)數(shù)的解之前，我們先看下周期為2\pi的傅里葉級(jí)數(shù)，令T=2\pi帶入：
f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )
其對(duì)應(yīng)的解為：
a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx
a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx
b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx

????想要求出這幾個(gè)解，我們要先了解下三角函數(shù)的正交性，而理解三角函數(shù)的正交最好就是從周期為2\pi的函數(shù)開(kāi)始。

什么是正交？在線性代數(shù)中，正交就是兩個(gè)向量垂直，如下圖(A)。

正交

\begin{bmatrix}x_1 \\y_1 \\\end{bmatrix} 和\begin{bmatrix}x_2 \\y_2 \\\end{bmatrix} 正交，就表現(xiàn)為x_1*x_2+y_1*y_2=0,也就是兩個(gè)向量的內(nèi)積等于0

而在函數(shù)上的正交就表現(xiàn)為積分的形式:
\int_a^b f(x)*g(x)dx=0
其中\int_a^b f(x)*g(x)dx 就是f(x),g(x)的內(nèi)積，當(dāng)其為零的時(shí)候就說(shuō)明兩個(gè)函數(shù)在a,b區(qū)間內(nèi)正交。

回到傅里葉級(jí)數(shù)，下面就是傅里葉級(jí)數(shù)中所有的三角函數(shù)集合。
{{0,1,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x).....\sin(nx),\cos(nx) }}

任意兩個(gè)三角函數(shù)一定條件下在 -\pi和\pi之間是正交的,詳細(xì)如下：
\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\cos(mx)dx=0
\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m
\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m
\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=\pi \quad\quad n=m
\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=\pi \quad\quad n=m

關(guān)于其證明網(wǎng)上有很多，這里就不細(xì)說(shuō)了。

下面看如何利用上面的性質(zhì)來(lái)接a_0,a_n,b_n

將函數(shù)兩邊同時(shí)積分

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)dx

將\frac{a_0}{2},a_n,b_n移到前面。
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx
其中 \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx 可以看成 \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\sin(nx)dx,根據(jù)前面的正交性，得到這兩項(xiàng)都等于0，于是上面的函數(shù)就等于
\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}2\pi

于是:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx

下面求解下a_n

將兩邊乘上\cos(mx)，然后兩邊同時(shí)積分

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)\cos(mx)dx

將\frac{a_0}{2},a_n,b_n移到前面。
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx

同樣根據(jù)正交性\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \quad, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx 等于0. 而\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx 只有n=m的項(xiàng)不為0，其他的也會(huì)為0，所以：

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx)dx

在正交性那塊我給出了 \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx)dx=\pi，所以:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx

關(guān)于b_n求法是一樣得，這里就不細(xì)說(shuō)了。

上面便是傅里葉級(jí)數(shù)得求解過(guò)程，但是這里我們定義得頻率是2\pi。
如何把傅里葉級(jí)數(shù)擴(kuò)展到任意周期上，以及傅里葉變換，在通俗易懂的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換(二)
中會(huì)詳細(xì)介紹，希望以上得內(nèi)容能幫到你。

最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時(shí)請(qǐng)結(jié)合常識(shí)與多方信息審慎甄別。
平臺(tái)聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，簡(jiǎn)書(shū)系信息發(fā)布平臺(tái)，僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容