一，b樹(shù)

b樹(shù)（balance tree）和b+樹(shù)應(yīng)用在數(shù)據(jù)庫(kù)索引，可以認(rèn)為是m叉的多路平衡查找樹(shù)，但是從理論上講，二叉樹(shù)查找速度和比較次數(shù)都是最小的，為什么不用二叉樹(shù)呢？

因?yàn)槲覀円紤]磁盤IO的影響，它相對(duì)于內(nèi)存來(lái)說(shuō)是很慢的。數(shù)據(jù)庫(kù)索引是存儲(chǔ)在磁盤上的，當(dāng)數(shù)據(jù)量大時(shí)，就不能把整個(gè)索引全部加載到內(nèi)存了，只能逐一加載每一個(gè)磁盤頁(yè)（對(duì)應(yīng)索引樹(shù)的節(jié)點(diǎn)）。所以我們要減少IO次數(shù)，對(duì)于樹(shù)來(lái)說(shuō)，IO次數(shù)就是樹(shù)的高度，而“矮胖”就是b樹(shù)的特征之一，它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多包含m個(gè)孩子，m稱為b樹(shù)的階，m的大小取決于磁盤頁(yè)的大小。

█一個(gè)M階的b樹(shù)具有如下幾個(gè)特征：

定義任意非葉子結(jié)點(diǎn)最多只有M個(gè)兒子，且M>2；

根結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[2, M]；

除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[M/2, M]，向上取整；

非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)=兒子數(shù)-1；

所有葉子結(jié)點(diǎn)位于同一層；

k個(gè)關(guān)鍵字把節(jié)點(diǎn)拆成k+1段，分別指向k+1個(gè)兒子，同時(shí)滿足查找樹(shù)的大小關(guān)系。

█有關(guān)b樹(shù)的一些特性，注意與后面的b+樹(shù)區(qū)分：

關(guān)鍵字集合分布在整顆樹(shù)中；

任何一個(gè)關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個(gè)結(jié)點(diǎn)中；

搜索有可能在非葉子結(jié)點(diǎn)結(jié)束；

其搜索性能等價(jià)于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找；

█如圖是一個(gè)3階b樹(shù)，順便講一下查詢?cè)?的過(guò)程：

1，第一次磁盤IO，把9所在節(jié)點(diǎn)讀到內(nèi)存，把目標(biāo)數(shù)5和9比較，小，找小于9對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)；

2，第二次磁盤IO，還是讀節(jié)點(diǎn)到內(nèi)存，在內(nèi)存中把5依次和2、6比較，定位到2、6中間區(qū)域?qū)?yīng)的節(jié)點(diǎn)；

3，第三次磁盤IO就不上圖了，跟第二步一樣，然后就找到了目標(biāo)5。

可以看到，b樹(shù)在查詢時(shí)的比較次數(shù)并不比二叉樹(shù)少，尤其是節(jié)點(diǎn)中的數(shù)非常多時(shí)，但是內(nèi)存的比較速度非?？?，耗時(shí)可以忽略，所以只要樹(shù)的高度低，IO少，就可以提高查詢性能，這是b樹(shù)的優(yōu)勢(shì)之一。

█b樹(shù)的插入刪除元素操作：

比如我們要在下圖中插入元素4：

1，首先自頂向下查詢找到4應(yīng)該在的位置，即3、5之間；

2，但是3階b樹(shù)的節(jié)點(diǎn)最多只能有2個(gè)元素，所以把3、4、5里面的中間元素4上移（中間元素上移是插入操作的關(guān)鍵）；

3，上一層節(jié)點(diǎn)加入4之后也超載了，繼續(xù)中間元素上移的操作，現(xiàn)在根節(jié)點(diǎn)變成了4、9；

4，還要滿足查找樹(shù)的性質(zhì)，所以對(duì)元素進(jìn)行調(diào)整以滿足大小關(guān)系，始終維持多路平衡也是b樹(shù)的優(yōu)勢(shì)，最后變成這樣：

再比如我們要?jiǎng)h除元素11：

1，自頂向下查詢到11，刪掉它；

2，然后不滿足b樹(shù)的條件了，因?yàn)樵?2所在的節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)孩子了，所以我們要“左旋”，元素12下來(lái)，元素13上去：

這時(shí)如果再刪除15呢？很簡(jiǎn)單，當(dāng)元素個(gè)數(shù)太少以至于不能再旋轉(zhuǎn)時(shí)，12直接上去就行了。

二，b+樹(shù)

b+樹(shù)，是b樹(shù)的一種變體，查詢性能更好。m階的b+樹(shù)的特征：

1、有n棵子樹(shù)的非葉子結(jié)點(diǎn)中含有n個(gè)關(guān)鍵字（b樹(shù)是n-1個(gè)），這些關(guān)鍵字不保存數(shù)據(jù)，只用來(lái)索引，所有數(shù)據(jù)都保存在葉子節(jié)點(diǎn)（b樹(shù)是每個(gè)關(guān)鍵字都保存數(shù)據(jù)）。

2、所有的葉子結(jié)點(diǎn)中包含了全部關(guān)鍵字的信息，及指向含這些關(guān)鍵字記錄的指針，且葉子結(jié)點(diǎn)本身依關(guān)鍵字的大小自小而大順序鏈接。

3、所有的非葉子結(jié)點(diǎn)可以看成是索引部分，結(jié)點(diǎn)中僅含其子樹(shù)中的最大（或最?。╆P(guān)鍵字。

4、通常在b+樹(shù)上有兩個(gè)頭指針，一個(gè)指向根結(jié)點(diǎn)，一個(gè)指向關(guān)鍵字最小的葉子結(jié)點(diǎn)。

5、同一個(gè)數(shù)字會(huì)在不同節(jié)點(diǎn)中重復(fù)出現(xiàn)，根節(jié)點(diǎn)的最大元素就是b+樹(shù)的最大元素。

█b+樹(shù)相比于b樹(shù)的查詢優(yōu)勢(shì)：

1、b+樹(shù)的中間節(jié)點(diǎn)不保存數(shù)據(jù)，所以磁盤頁(yè)能容納更多節(jié)點(diǎn)元素，更“矮胖”；

2、b+樹(shù)查詢必須查找到葉子節(jié)點(diǎn)，b樹(shù)只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+樹(shù)查找更穩(wěn)定（并不慢）；

3、對(duì)于范圍查找來(lái)說(shuō)，b+樹(shù)只需遍歷葉子節(jié)點(diǎn)鏈表即可，b樹(shù)卻需要重復(fù)地中序遍歷，如下兩圖：

原文參考：

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作者：login_sonata

來(lái)源：CSDN

原文：https://blog.csdn.net/login_sonata/article/details/75268075