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能量不等式、波動方程解的唯一性和穩(wěn)定性

膜振動問題，總能量由動能與位能兩部分組成，他們都可用二重積分來表達，其和稱為能量積分.
膜的動能為
$\displaystyle U=\dfrac{1}{2}\underset{\Omega}{\iint}\rho u_{t}^2\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy$
其中 $\Omega$ 是薄膜在 $Oxy$ 平面上的投影區(qū)域.

膜的位能為
$\displaystyle V=\underset{\Omega}{\iint}\left\{\dfrac{T}{2}\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]-Fu\right\}\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy$

薄膜總能量可以寫成
$\displaystyle E(t)=\underset{\Omega}{\iint}[u_{t}^2+a^2(u_{x}^2+u_{y}^2)]\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy$
在沒有外力的作用下，總能量應該守恒，因此有
$\dfrac{\textu0z1t8osE(t)}{\textu0z1t8ost}=0$
因此可以推出初邊值問題的解的唯一性.
這里的初邊值問題指的是：

$\begin{cases} u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y)\\ u|_{\Gamma}=0\\ f=0 \end{cases}$

Thm1

波動方程初邊值問題得解如果存在的話，它一定是唯一的.
$\begin{cases} u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y)\\ u|_{\Gamma}=0\\ \end{cases}$

能量不等式(能量估計式)：
$\displaystyle E(t)+E_0(t)\leqslant C\left(E(0)+E_{0}(0)+\int_{0}^{T}\underset{\Omega}{\iint}f^2\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy\textu0z1t8ost\right)$

這個估計式是在假設解存在的前提下得到的，在偏微分方程理論中具有這種特點的估計式均成為先驗估計式.

我們常以 $\|\varphi\|_{L^2(\Omega)}$ 和 $\|f\|_{L^2((0,T)\times\Omega)}$ 分別表示 $\displaystyle\left(\underset{\Omega}{\iint}\varphi^2\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy\right)^{\frac12}$ 和 $\displaystyle\left(\int_{0}^{T}\underset{\Omega}{\iint}f^2\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy\textu0z1t8ost\right)^{\frac{1}{2}}$

Thm2

波動方程初邊值問題的解 $u(x,y,t)$ 在下述意義下關于初始值 $(\varphi,\psi)$ 與方程右端項 $f$ 是穩(wěn)定的：對任意給定的 $\varepsilon>0$ ，一定可以找到僅依賴于 $\varepsilon$ 和 $T$ 的 $\eta>0$ ，只要
$\begin{aligned} &\|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta,\;\;\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta\\ &\|\varphi_{1y}-\varphi_{2y}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta,\;\;\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta\\ &\|f_2-f_2\|_{L^2((0,T)\times\Omega)}\leqslant\eta \end{aligned}$
那么以 $(\varphi_1,\psi_1)$ 為初值， $f_1$ 為有段項的解 $u_1$ 與以 $(\varphi_2,\psi_2)$ 為初值、 $f_2$ 為右端項的解 $u_2$ 之差在 $0\leqslant t\leqslant T$ 上滿足
$\begin{aligned} &\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1x}-u_{2x}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon\\ &\|u_{1y}-u_{2y}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1t}-u_{2t}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon \end{aligned}$

這個有點懵

Thm3

波動方程 $u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f$ 取初始條件
$\begin{cases} u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y) \end{cases}$
的柯西問題的解是唯一的.

Thm4

波動方程 $u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})$ 取初始條件
$\begin{cases} u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y) \end{cases}$
的柯西問題的解在下述意義下關于初始值是穩(wěn)定的：對于任何給定的 $\varepsilon>0$ ，一定可找到僅依賴于 $\varepsilon$ 的 $\eta>0$ ，只要
$\begin{aligned} &\|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2(\Omega_0)}\leqslant\eta,\;\;\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2(\Omega_{0})}\leqslant\eta,\\ &\|\varphi_{1y}-\varphi_{2y}\|_{L^2(\Omega_{0})}\leqslant\eta,\;\;\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2(\Omega_0)}\leqslant\eta \end{aligned}$
則對應于初始值 $(\varphi_1,\psi_1)$ 的解 $u_1$ 與對應于初始值 $(\varphi_,\psi_2)$ 的解 $u_2$ 的差在 $0\leqslant t\leqslant\dfrac{R}{a}$ 上成立
$\begin{aligned} &\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1x}-u_{2x}\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon\\ &\|u_{1y}-u_{2y}\|_{L^2(\Omega_{t})}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1t}-u_{2t}\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon \end{aligned}$
又在錐體 $K$ 上成立
$\displaystyle\|u_1-u_2\|_{L^2(K)}=\sqrt{\underset{K}{\iiint}(u_1-u_2)^2\textu0z1t8osx\textu0z1t8osy\textu0z1t8ost}\leqslant\varepsilon$ .