定理：
是一個隨機(jī)變量，而且![X \in[a, b]](https://math.jianshu.com/math?formula=X%20%5Cin%5Ba%2C%20b%5D)
，設(shè)![\mu=E[X]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmu%3DE%5BX%5D)
，
，我們證明是一個次高斯隨機(jī)變量而且有次高斯系數(shù)
，也就是說：
%7D%5Cright)%20%5Cleqslant%20e%5E%7B%5Clambda%5E%7B2%7D(b-a)%5E%7B2%7D%20%2F%208%7D)
證明：我們設(shè)![\psi(\lambda)=\log E\left[e^{\lambda X}\right] \quad \lambda \in R](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cpsi(%5Clambda)%3D%5Clog%20E%5Cleft%5Be%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%20%5Cquad%20%5Clambda%20%5Cin%20R)
?,
容易計(jì)算得到：![\psi(0)=0 \quad \psi^{\prime}(\lambda)=\frac{E\left[X e^{\lambda X}\right]}{E\left[e^{\lambda X}\right]}，\psi^{\prime}(0)=\mu](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cpsi(0)%3D0%20%5Cquad%20%5Cpsi%5E%7B%5Cprime%7D(%5Clambda)%3D%5Cfrac%7BE%5Cleft%5BX%20e%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D%7BE%5Cleft%5Be%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D%EF%BC%8C%5Cpsi%5E%7B%5Cprime%7D(0)%3D%5Cmu)
![\psi^{\prime \prime}(\lambda)=E_{\lambda}\left[X^{2}\right]-\left(E_{\lambda}[X]\right)^{2}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cpsi%5E%7B%5Cprime%20%5Cprime%7D(%5Clambda)%3DE_%7B%5Clambda%7D%5Cleft%5BX%5E%7B2%7D%5Cright%5D-%5Cleft(E_%7B%5Clambda%7D%5BX%5D%5Cright)%5E%7B2%7D)
其中![E_{\lambda}[f(X)]:=\frac{E\left[f(X) e^{\lambda X}\right]}{E\left[e^{\lambda X}\right]}](https://math.jianshu.com/math?formula=E_%7B%5Clambda%7D%5Bf(X)%5D%3A%3D%5Cfrac%7BE%5Cleft%5Bf(X)%20e%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D%7BE%5Cleft%5Be%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （
）
引入下面的概率測度：在
的時(shí)候，![P_{\lambda}(A):=\frac{E\left[1_{A} e^{\lambda X}\right]}{E\left[e^{\lambda X}\right]}](https://math.jianshu.com/math?formula=P_%7B%5Clambda%7D(A)%3A%3D%5Cfrac%7BE%5Cleft%5B1_%7BA%7D%20e%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D%7BE%5Cleft%5Be%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D)
有了概率測度就可以定義積分，容易知道在這個概率測度下，一個隨機(jī)變量Y的積分為：
![E_{\lambda }(Y)=\frac{E\left[Ye^{\lambda X}\right]}{E\left[e^{\lambda X}\right]}](https://math.jianshu.com/math?formula=E_%7B%5Clambda%20%7D(Y)%3D%5Cfrac%7BE%5Cleft%5BYe%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D%7BE%5Cleft%5Be%5E%7B%5Clambda%20X%7D%5Cright%5D%7D)
所以()就是%0A)
在這個概率測度下的積分。
因此)
是X在這個概率測度下的方差。
然而，所以他在任何概率測度下，方差 都小于等于%5E2%2F4)
所以對
在0處展開:
%20%26%3D%5Cpsi(0)%2B%5Cpsi%5E%7B%5Cprime%7D(0)%20%5Clambda%2B%5Cfrac%7B%5Cpsi%5E%7B%5Cprime%20%5Cprime%7D%20(%5Cepsilon)%7D%7B2%7D%20%5Clambda%5E%7B2%7D%20%5C%5C%0A%26%5Cleq%5Cmu%20%5Clambda%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Csup%20%5Cpsi%5E%7B%5Cprime%20%5Cprime%7D(%5Cepsilon)%20%5C%5C%0A%26%20%5Cleq%20%5Cmu%20%5Clambda%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B(b-a)%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cmu%20%5Clambda%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%5E%7B2%7D(b-a)%5E%7B2%7D%7D%7B8%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D)
所以代回就得到要求的結(jié)論。
另一個比較有意思的方法，采用對稱技術(shù)，但是得不到這么好的結(jié)果：
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