T0004導(dǎo)數(shù)原型

有些導(dǎo)數(shù)的問題 , 尤其是抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題 , 需要根據(jù)給出的導(dǎo)數(shù)還原函數(shù)的

形式 , 準(zhǔn)確地將含有導(dǎo)數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性 , 從而判斷原函數(shù)的性質(zhì) , 例

如下題 :



Litiの1

? 設(shè)定義在 ( 0 , + ∞ ) 的函數(shù) f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)是 f’(x) ,且 x ^4f’(x)+3 x ^3 f ( x ) = e^x ,

f(3)= \frac{e^{3}}{81} , 則 x > 0 時(shí) , f ( x ) 滿足 (\quad\quad )

? A . 有極大值 , 無極小值

? B . 有極小值 , 無極大值

? C . 既無極大值 , 又無極小值

D . 既有極大值 , 又有極小值



注本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造原函數(shù)的形式 . 常見的構(gòu)造原函數(shù)的方法有 :

( 1 ) ( f ( x ) g ( x ) )’ = f ’( x ) g ( x ) + f ( x ) g’ ( x ) ;

? ( 2 ) ( \dfrac{f(x)}{g(x)})^{ \prime }= \frac{f^{ \prime }(x)g(x)-f(x)g^{ \prime }(x)}{g^{2}(x)} ,

而 ( 1 ) 的兩種常用形式為 :

( 3 ) (x^{m}f(x))^{ \prime }=x^{m-1}(xf^{ \prime }(x)+mf(x));

( 4)(e^{nx}f(x))^{ \prime }=e^{nx}(nf(x)+f^{ \prime }(x)).

?在應(yīng)用中 , 第二種模型一般隱藏分母 , 第三種模型一般隱藏因式 x^{m -1} , 第四種模

型一般隱藏 e^{nx}, 做題過程中可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則將其準(zhǔn)確還原出來 .

Timoの1

?已知函數(shù) y = f ( x ) 是定義在 R 上的奇函數(shù) , 且當(dāng) x ∈ ( - ∞ , 0 ) 時(shí) ,

f ( x ) ＋xf’( x ) < 0 ( 其中 f ’( x ) 是 f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù) ) ,若a = ( 3 ^{0.3} ) · f ( 3^{0.3} ) , b = ( log_\pi 3 ) ·f ( log_ π 3 ) , c=( \log _{3} \frac{1}{9}) \cdot f( \log _{3} \frac{1}{9})

則 a , b , c 的大小關(guān)系是 (? ? ? ?)

A . a > b > c \qquad B . c > a > b

C . c > b > a \qquad D . a > c > b





Timoの2


設(shè) f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)為 f ′ ( x ) , 已知 ( x -1 ) ( f ′ ( x ) - f ( x ) ) > 0 , f ( 2- x ) = f ( x ) e ^2-2 x ,

則下列判斷一定正確的是 (? ? ? ? )

A . f ( 1 ) < f ( 0 ) \qquad \quad B . f ( 2 ) > ef ( 0 )






Timoの3


已知 R 上的奇函數(shù) f ( x ) 滿足f’(x)> -2 , 則不等式 f ( x -1 ) < x ^2 ( 3-2 \ln x ) +3 ( 1-2 x )

的解集是 (? ? ? ?)

A . (0, \frac{1}{e}) \quad \quad B . ( 0 , 1 )? ? C . ( 1 , + ∞ ) \quad D . ( e , + ∞ )




答案

1.D

2.C

3.B


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