函數(shù)概念

定義：

給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集D和M(常用R代替),若有對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)D內(nèi)每一個(gè)數(shù)x,都有唯一的一個(gè)數(shù) $y\in M$ 與它對(duì)應(yīng),則稱f是定義在數(shù)集D上的函數(shù)

記作 $f:D\to M,(按法則f建立數(shù)集D到M的函數(shù)關(guān)系)$
$\qquad x\mapsto y.(兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系)$

稱x為自變量,y為因變量

數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域,x所對(duì)應(yīng)的數(shù)y稱為f在點(diǎn)x的函數(shù)值,常記為f(x),

全體函數(shù)值的集合 $f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}(\subset M)$ 稱為函數(shù)f的值域

說明：

1.定義域D和對(duì)應(yīng)法則f為確定函數(shù)的兩個(gè)主要因素,常用 $y=f(x),x\in D$ 表示一個(gè)函數(shù)

兩個(gè)函數(shù)相同即它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則

2.存在域：解析法(公式法)表示函數(shù),函數(shù)的定義域常取運(yùn)算式子有意義的自變量值的全體,稱為存在域

此時(shí)函數(shù)的定義域D可省略不寫,只用對(duì)應(yīng)法則f表示函數(shù),稱"函數(shù)y=f(x)"或"函數(shù)f"

3.函數(shù)f給出了x軸上的點(diǎn)集D到y(tǒng)軸上點(diǎn)集M之間的單值對(duì)應(yīng),也稱為映射

對(duì)于 $a\in D$ ,f(a)稱為映射f下a的象,a稱為f(a)的原象

4.每一個(gè) $x\in D$ ,只能有唯一的一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng),這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)

若同一個(gè)x值可以對(duì)應(yīng)多于一個(gè)y值,則稱函數(shù)為多值函數(shù)

表示法

三種表示法：解析法(公式法)、列表法、圖像法

分段函數(shù)：在其定義域的不同部分用不同的公式表達(dá)

例：符號(hào)函數(shù)

$y=sgnx=\begin{cases}1\quad x\gt 0\\ 0\quad x=0\\ -1\quad x\lt 0\end{cases}$

例：f(x)=|x|

$f(x)=\begin{cases}x\qquad x\ge 0\\-x\qquad x\lt 0\end{cases}=xsgnx$

圖像法表示函數(shù)的依據(jù)：

函數(shù) $y=f(x),x\in D$ 用有序數(shù)對(duì)的集合 $G=\{(x,y)|y=f(x),x\in D\}$ 表示

在坐標(biāo)平面上集合G的每一個(gè)元素(x,y)表示平面上的一個(gè)點(diǎn),集合G在坐標(biāo)平面上描繪出這個(gè)函數(shù)的圖像

某些只能用語言描述的函數(shù)：

Dirichlet函數(shù)：

$D(x)=\begin{cases}1\qquad x\in Q\\0\qquad x\in Q^C\end{cases}$

Riemann函數(shù)：

$R(x)=\begin{cases}{1\over q}\qquad x={p\over q}(p,q\in N_+,{p\over q}為既約真分?jǐn)?shù))\\0\qquad x=0,1和(0,1)內(nèi)的無理數(shù)\end{cases}$

函數(shù)的四則運(yùn)算

給定兩個(gè)函數(shù) $f,x\in D_1$ 和 $g,x\in D_2$ ,記 $D=D_1\cap D_2$ ,并設(shè) $D\neq \varnothing$

定義f與g在D上的和差積運(yùn)算：

$F(x)=f(x)+g(x),x\in D,簡寫作f+g$

$G(x)=f(x)-g(x),x\in D,簡寫作f-g$

$H(x)=f(x)g(x),x\in D,簡寫作fg$

若在D中剔除使g(x)=0的x值,

即令 $D^*=D_1\cap \{x|g(x)\neq 0,x\in D_2\}\neq \varnothing$

定義f與g在 $D^*$ 上的商運(yùn)算：

$L(x)={f(x)\over g(x)},x\in D^*,簡寫作{f\over g}$

注：若 $D=D_1\cap D_2=\varnothing$ ,則不能進(jìn)行四則運(yùn)算

復(fù)合函數(shù)

設(shè)有兩函數(shù)

$y=f(u),u\in D$

$u=g(x),x\in E$

記 $E^*=\{x|g(x)\in D\}\cap E$ ,若 $E^*\neq \varnothing$ ,則對(duì)每一個(gè) $x\in E^*$ ,可通過函數(shù)g對(duì)應(yīng)D內(nèi)唯一的一個(gè)值u,而u又通過函數(shù)f對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)值y,確定定義在 $E^*$ 上的函數(shù),以x為自變量,y為因變量

f和g的復(fù)合函數(shù)：

記作 $y=f(g(x)),x\in E^*$ 或 $y=(f\circ g)(x),x\in E^*,簡寫作f\circ g$

f為外函數(shù),g為內(nèi)函數(shù),u為中間變量

注：當(dāng)且僅當(dāng) $E^*\neq \varnothing(即D\cap g(E)\neq \varnothing)$ 時(shí),f和g才能復(fù)合

反函數(shù)

設(shè)函數(shù) $y=f(x),x\in D$ 滿足：

對(duì)于值域f(D)中的每一個(gè)值y,D中有且只有一個(gè)值x使f(x)=y

則按此對(duì)應(yīng)法則得到一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù),稱為f的反函數(shù)

記作 $f^{-1}:f(D)\to D,$

$\qquad y\mapsto x$

或 $x=f^{-1}(y),y\in f(D)$

注：

1.f有反函數(shù),則f是D與f(D)之間的一一映射,稱 $f^{-1}$ 為映射f的逆映射, $f^{-1}$ 把f(D)中每一個(gè)f(a)對(duì)應(yīng)到D中唯一的一個(gè)a,稱a為逆映射 $f^{-1}$ 下f(a)的像,稱f(a)為a在逆映射 $f^{-1}$ 下的原像