定義設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D,點M0(x0,y0)(M∈D)的某一鄰域在D內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)異于M0的任何點(x,y),如果

? ?f(x,y)> f(xo,yo),

則稱點Mo(x,yo)是函數(shù)z=f(x,y)的一個極小值點,稱f(x0,yo)為函數(shù)z=f(x,y)的一個極小值.如果

?f(x,y)< f(xo, yo),

則稱點Mo(xo,yo)是函數(shù)z=f(x,y)的一個極大值點,稱f(xo,yo)為函數(shù)z=f(x,y)的一個極大值.

極小值點和極大值點統(tǒng)稱極值點;極小值和極大值統(tǒng)稱極值

顯然,如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(xo，yo)取得極值,則一元函數(shù)z=f(x,yo)在點x取得極值,一元函數(shù)z=f(xo,y)在點yo取得極值,此得到極值點的必要條件

定理1(必要條件)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(xo,yo)取得極值,且fx(xo,yo)，fy(o,yo)存

在,則? ? ?fx(xo,yo)=0,fy(xo,yo)=0.

稱兩個偏導(dǎo)數(shù)都為0的點為二元函數(shù)z=f(x,y)的駐點,駐點不一定就是極值點

(充分條件)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點Mo(xo,yo)的某一鄰域內(nèi)連續(xù),且有連續(xù)的一二階偏導(dǎo)數(shù),又Mo(xo,yo)是駐點,令

則(1)當△<0時,點Mo(x,yo)是極值點.且當A<0時,點Mo(xo,yo)是極大值點;當A>0時，Mo(x,y)是極小值點;

(2)當△>0時,點Mo(x0,y)不是極值點;

(3)當△=0時,Mo(x,yo)可能是極值點,也可能不是極值點,需另作討論