線段樹(shù)

• 每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的信息。
• 葉子節(jié)點(diǎn)只存一個(gè)元素(區(qū)間為1)。
• 線段樹(shù)不是完全二叉樹(shù)，也不是滿二叉樹(shù)。
• 線段樹(shù)是平衡二叉樹(shù)(最大深度與最小深度差距不會(huì)超過(guò)1，堆也是平衡二叉樹(shù)，logn)。
• 一般不考慮向線段樹(shù)中添加和刪除元素，且固定區(qū)間。
• 可將其看做一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以為空的滿二叉樹(shù)(特殊的完全二叉樹(shù))，可用數(shù)組表示。
• 用數(shù)組表示線段樹(shù)應(yīng)開(kāi)辟4倍空間。
  對(duì)于滿二叉樹(shù)：有(2^h - 1) 個(gè)節(jié)點(diǎn)，大約2^h。 最后一層(葉子節(jié)點(diǎn))的節(jié)點(diǎn)數(shù)是2^(h-1) 約等于前面所有層節(jié)點(diǎn)之和。
  所以如果線段樹(shù)是區(qū)間有n個(gè)元素(葉子節(jié)點(diǎn)為n)，當(dāng)n = 2^h，只需要開(kāi)辟2n的空間足以存全部節(jié)點(diǎn)。如果n= 2^k + 1, 最后一層只有少數(shù)幾個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，則需要開(kāi)辟4n的空間節(jié)點(diǎn)(將其視其余葉子節(jié)點(diǎn)為空的滿二叉樹(shù))。

滿二叉樹(shù)

線段樹(shù)

節(jié)點(diǎn)視為空

代碼示例 創(chuàng)建線段樹(shù)

public class SegmentTree<E> {
    private E[] tree;
    private E[] data;
    private Merger<E> merger;

    public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){
        this.merger = merger;
        data = (E[])new Object[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }
        tree = (E[])new Object[arr.length * 4];
        buildSegmentTree(0, 0 , data.length - 1);
    }

    public int getSize(){
        return data.length;
    }

    public E get(int index){
        if (index < 0 || index >= data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
        return data[index];
    }

    private int leftChild(int index){
        return 2*index + 1;
    }

    private int rightChild(int index){
        return 2*index + 2;
    }
    

    // 在treeIndex的位置創(chuàng)建區(qū)間為[l...r]的線段樹(shù)
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r){
        if (l == r){
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }

        int mid = l + (r - l) /2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }
 }

查詢

    //返回區(qū)間[queryL, queryR]的值
    public E query(int queryL, int queryR){
        if (queryL >= data.length || queryL < 0 || queryR >= data.length || queryR < 0 || queryL > queryR)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        return query(0, 0,data.length - 1, queryL, queryR);
    }

    private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
        if (l == queryL && r == queryR)
            return tree[treeIndex];

        int mid = l + (r - l) / 2;

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        if (queryR <= mid) {
            return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
        } else if (queryL >= mid + 1) {
            return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        }
        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);

        return merger.merge(leftResult, rightResult);
    }

更新

    //更新
    public void set(int index, E e){
        if (index < 0 || index > data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Illegal index");
        data[index] = e;
        set(0, 0, data.length - 1, index, e);
    }

    //在以treeIndex為根的線段樹(shù)中更新index的值為e;
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e){

        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }

        int mid = l + (r - l)/2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        if (index <= mid){
            set(leftTreeIndex, 0, mid, index, e);
        } else {
            set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
        }
        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間復(fù)雜度為：O(logn)
相關(guān)題目：LeetCode 303 區(qū)域與檢索