這一段論述摘自《實(shí)驗(yàn)、測(cè)量與科學(xué)》一書中第4章第5節(jié)的內(nèi)容。

第5節(jié)? ? 數(shù)學(xué)的局限

數(shù)學(xué)工具并不是完美的，因此，不可能僅僅靠數(shù)學(xué)去認(rèn)識(shí)世界。它有三個(gè)根本性的局限：

一、演繹法可以確保前提與結(jié)論之間的邏輯一致性，但它不能保證前提是正確的

公理化方法所做的只是讓這種不能被數(shù)學(xué)證明的命題數(shù)量減少到最低的程度，這就是公理體系。前面說過，公理是無法通過數(shù)學(xué)方法確定其正確性的。

二、哥德爾不完備性定理所揭示的傳統(tǒng)公理體系方法存在局限性

這個(gè)定理的證明很難從直觀上理解，但結(jié)論卻是很清晰明了的。公理體系有一致性、完備性和獨(dú)立性三個(gè)要求。

1. 一致性。也叫不矛盾性。它是指公理體系內(nèi)所有命題相互之間在邏輯上是一致的，不能相互矛盾。我們可以把這個(gè)要求稱為數(shù)學(xué)的“第一原則”。

2. 完備性。是指公理體系內(nèi)的所有定理都可以通過公理推導(dǎo)出來。

3. 獨(dú)立性。是指公理之間相互獨(dú)立，一個(gè)公理不能由另一個(gè)公理推導(dǎo)出來。

“哥德爾不完備性定理”證明了：公理體系的一致性和完備性之間有可能是不能同時(shí)獲得滿足的。也就是說，如果要求一致性，它就不可能完備。而如果要求完備，它內(nèi)部就必然出現(xiàn)不一致。由于一致性是數(shù)學(xué)最核心的原則要求，因此，如果兩者不能同時(shí)獲得滿足，人們只能舍棄完備性而保留一致性。

在數(shù)理邏輯中，哥德爾不完備定理是庫爾特·哥德爾于1930年證明并發(fā)表的兩條定理。哥德爾定理是一階邏輯的定理，故最終只能在這個(gè)框架內(nèi)理解。簡(jiǎn)單地說，第一條定理指出：任何一個(gè)相容的數(shù)學(xué)形式化理論中，只要它強(qiáng)到足以蘊(yùn)涵皮亞諾算術(shù)公理，就可以在其中構(gòu)造在體系中既不能證明也不能否證的命題。

把第一條定理的證明過程在體系內(nèi)部形式化后，哥德爾證明了他的第二條定理。該定理指出，任何相容的形式體系不能用于證明它本身的相容性。哥德爾定理并不是說所有公理系統(tǒng)都是不完備的，而是指符合其前提條件的公理是不完備的。

三、不能系統(tǒng)地理解不同公理體系之間是什么關(guān)系，或難以解決“跨公理體系”的問題

這是傳統(tǒng)公理體系方法存在的另一個(gè)重大的缺陷，對(duì)此只是有一些零星的研究，像證明公理的獨(dú)立性時(shí)，可用到跨公理體系的方法。

如，設(shè)A是一個(gè)公理體系，M是A里的一個(gè)公理，M'是M的否命題，A是A去掉M后的公理集合。如果M'+A形成的公理集合被證明也是一個(gè)一致的公理體系，則可以證明M與A里其他公理之間是相互獨(dú)立的。

以上有關(guān)跨公理體系問題最經(jīng)典的案例是19世紀(jì)末為解決歐氏幾何第五公理而出現(xiàn)的非歐幾何學(xué)，包括羅巴切夫斯基幾何學(xué)和黎曼幾何學(xué)等。

歐氏幾何第五公理是指過直線外一點(diǎn)可以做一條平行線。

羅巴切夫斯基幾何學(xué)對(duì)第五公理做出不同的假設(shè)：過直線外一點(diǎn)可以做無窮條平行線。

黎曼幾何學(xué)則假設(shè)過直線外一點(diǎn)不能做任何一條平行線。

以上對(duì)第五公理做出互相矛盾的假設(shè)，卻都可以建立各自滿足一致性的公理體系。它們成為歐氏幾何第五公理獨(dú)立性的證明。

不過，從根本上說，跨公理體系問題，已經(jīng)突破了古希臘文明的理解，但今天的西方文明也沒有對(duì)此給出系統(tǒng)的解釋。這是科學(xué)未來發(fā)展可以產(chǎn)生另一場(chǎng)重大進(jìn)步的突破點(diǎn)所在。限于篇幅，本書對(duì)此問題并不準(zhǔn)備展開討論。