“數(shù)學(xué)是我家孩子最大的難題”|家長怎樣培養(yǎng)孩子的“數(shù)感”？

2016-11-17夏駿軼家長進(jìn)化論

中國數(shù)學(xué)教育中最為家長詬病的一點(diǎn)，就是“套路”，重復(fù)性的刷題套路、解題套路，訓(xùn)練出擅長計(jì)算卻沒有什么數(shù)學(xué)思維的學(xué)生。尤其在低齡階段，我們在“數(shù)感”方面的啟蒙，落后很多國外同年齡的孩子。

今天，我們轉(zhuǎn)載“外灘教育“的文章，作者夏駿軼老師深諳美國數(shù)學(xué)教育體系，目前在滬上一家機(jī)構(gòu)擔(dān)任思維數(shù)學(xué)教研總監(jiān)，他將兒童數(shù)學(xué)教育問題直指數(shù)學(xué)語言的忽視。他指出，我們傳統(tǒng)教育模式是以自然語言傳授為核心基底，但數(shù)學(xué)語言是另一種邏輯和體系，在孩子低齡階段，應(yīng)該幫助孩子建立直接的數(shù)學(xué)概念，同時(shí)重視邏輯思維和表達(dá)。

本文授權(quán)轉(zhuǎn)載自“外灘教育”(id:TBEducation)

作者：夏駿軼

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記得小時(shí)候，數(shù)學(xué)老師跟我們講解應(yīng)用題，講著講著蹦出一句：“所以啊，語文很重要！學(xué)好語文，才能學(xué)好數(shù)學(xué)！”

對于數(shù)學(xué)老師的這一番諄諄教導(dǎo)，長久以來，我內(nèi)心一直是一團(tuán)迷糊，數(shù)學(xué)注重思維，語文側(cè)重表達(dá)，數(shù)學(xué)推崇理性，語文追求感受，緣何說學(xué)好語文才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？

比如我讀《小石潭記》：

“從小丘西行百二十步，隔篁竹，聞水聲，如鳴佩環(huán)，心樂之。伐竹取道，下見小潭，水尤清冽。全石以為底，近岸，卷石底以出，為坻，為嶼，為嵁，為巖。青樹翠蔓，蒙絡(luò)搖綴，參差披拂……”

我們總不能說“西行百二十步”這一句，能啟示我們進(jìn)行步幅測量，進(jìn)而理解非標(biāo)準(zhǔn)單位？也不能說作者移步換形、依序?qū)懢暗膶懛◤牧硪粋€(gè)側(cè)面闡述了數(shù)學(xué)排列規(guī)律，“為坻，為嶼，為嵁，為巖”就是“AB，AC，AD，AE”的模式？

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如此解讀，文章支離破碎，了無生趣，數(shù)學(xué)概念也讓人感覺怪怪的，數(shù)學(xué)與語文似乎是風(fēng)馬牛不相及的兩個(gè)方面。

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但是反過來說，我們數(shù)學(xué)課本中大量的概念、定理、應(yīng)用、解法運(yùn)用了文字來表述，老師課堂授課也都是用語言，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)考試中，文字呈現(xiàn)的應(yīng)用題又是重中之重。這一切都顯示著語文和數(shù)學(xué)之間千絲萬縷的關(guān)系。

而真正讓我們覺得困惑的，在于數(shù)學(xué)課本上的文字和老師課堂上語言描述的內(nèi)容，對一部分人來說，簡直就是天書和外星語——拆開看，每一個(gè)字都認(rèn)識(shí)，合在一起，就不知道是什么意思了，特別是考試的時(shí)候。

那么，這到底是怎么一回事呢？我們的孩子在數(shù)學(xué)思維啟蒙的時(shí)候，又需要怎樣的語言體系支持呢？今天就來和大家閑聊一下數(shù)學(xué)、思維和語言中，那些讓人疑惑的事情：

語言，幫助我們啟動(dòng)思維

語言，是人類安裝的第一項(xiàng)大腦升級軟件，重要性不言而喻。長久以來，我們都把語言定位在交流工具上，用語言表達(dá)情感、呈現(xiàn)美學(xué)（詩歌）、傳遞意愿、建立社交關(guān)系。但是同時(shí)，我們也使用語言來表達(dá)思想，傳遞想法，這就為語言拓展出了思維向的工具效能。

我相信大家都遇到過這種情況——當(dāng)需要思索一件事情，我們有時(shí)會(huì)情不自禁地喃喃自語。

我身邊有很多朋友，常常開玩笑說他們是“腦袋長在嘴上”。也就是說，他們需要通過講話來啟動(dòng)他們的思維。其實(shí)這并不僅僅是一句玩笑，運(yùn)用語言啟動(dòng)思考，是人類發(fā)明出來的思維策略。

語言運(yùn)作的本質(zhì)是大腦運(yùn)作，語言啟動(dòng)了我們的左側(cè)大腦，而左側(cè)大腦主要負(fù)責(zé)理性思維，當(dāng)我們聽見自己對問題敘述的聲音時(shí)，會(huì)更容易進(jìn)入深層次的反思，也就是所謂的“元認(rèn)知”。

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元認(rèn)知（Metacognition）就是對認(rèn)知的認(rèn)知，該詞最早出現(xiàn)在美國兒童心理學(xué)家弗拉威爾（J. H. Flavell）于1976年出版的《認(rèn)知發(fā)展》一書中。

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元認(rèn)知就是對認(rèn)知的認(rèn)知，具體地說，是關(guān)于個(gè)人自己認(rèn)知過程的知識(shí)和調(diào)節(jié)這些過程的能力。對思維和學(xué)習(xí)活動(dòng)的知識(shí)和控制，是一種高級思維策略。

孩子們的元認(rèn)知早在3-4歲就開始萌芽，一直要到成年以后才日臻成熟。

所以如果我們的孩子出現(xiàn)情緒波動(dòng)（右側(cè)大腦），可以讓孩子說一下他們遭遇的情景。通過這樣的語言激發(fā)，可以讓他們啟動(dòng)左側(cè)腦的理性思維，進(jìn)而平復(fù)情緒問題。

我們可以發(fā)現(xiàn)孩子有時(shí)常常會(huì)自言自語說一件事情，或者一個(gè)人玩過家家的游戲，這或許是出于語言模仿和練習(xí)的需求，但同樣也是思維的啟動(dòng)，甚至帶有自我療愈性質(zhì)。

數(shù)學(xué)思維能力跟語言本身無關(guān)

科學(xué)的研判往往和我們天然的感覺相反。關(guān)于語言推動(dòng)數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)有兩種：

其一是認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是由語言能力分化出來的。比如美國著名認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)家諾姆·喬姆斯基（Noam Chomsky），他認(rèn)為，“語言處理的抽象化是數(shù)學(xué)能力的起源”。

然而這種說法遭到許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的反對，著名物理學(xué)家愛因斯坦就說過：“文字和語言，不管是書面的還是口頭的，似乎在我的思考過程中不起任何作用?！?/p>

工作的關(guān)系，我遇到過一些有數(shù)學(xué)天賦的孩子，比如小學(xué)階段就開始自學(xué)高中甚至大學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，另外對物理、哲學(xué)都比較感興趣，但是他們中的有些人語言表達(dá)能力就相對弱了很多，嘴笨，對文學(xué)作品也不熱衷。

最近，認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)家們提出了一個(gè)與語言假說相對的觀點(diǎn)，并得到許多數(shù)學(xué)家的支持。此觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)是由對空間、時(shí)間以及數(shù)字的非語言的直覺產(chǎn)生的，這種直覺在人類演化的早期就已形成，比如“數(shù)感”。

數(shù)感是什么呢？數(shù)感其實(shí)是一種對最基本的數(shù)字大小和數(shù)量多少的感知能力，它是通過處理和解決我們?nèi)粘Ｉ钪械木唧w問題而培養(yǎng)起來的。通過數(shù)感，成人、兒童，甚至嬰兒不需要借助數(shù)數(shù)或數(shù)字符號即可對事物的數(shù)量進(jìn)行理解和表達(dá)，所以被稱為“更高級數(shù)學(xué)能力的基石”。

腦科學(xué)的研究也用事實(shí)支持了這一觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維激活的大腦區(qū)域和語言區(qū)域并不同步和重疊。法國NeuroSpin中心認(rèn)知神經(jīng)影像部門的研究表明，我們在處理數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，相比處理其他問題時(shí)調(diào)用了更少的語言區(qū)域，所以數(shù)學(xué)能力是獨(dú)立于語言能力的一項(xiàng)抽象能力。

孩子數(shù)學(xué)不好，有可能是因?yàn)槁牪欢Z言背后的數(shù)學(xué)含義

隨著人類認(rèn)知研究的不斷深入，使得教育模式面臨從所未有的挑戰(zhàn)和機(jī)遇，并且變得越來越不可避免。

接著上面的話題，大家都知道，傳統(tǒng)教育模式是以語言傳授為核心基底的，千百年來我們都是老師講，學(xué)生聽?，F(xiàn)在我們竟然發(fā)現(xiàn)，在我們大腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)和語言是平行運(yùn)轉(zhuǎn)的系統(tǒng)，那意味著什么？

這意味著，當(dāng)我們用語言對孩子“講解”數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，當(dāng)孩子在聆聽數(shù)學(xué)問題時(shí)，他們大腦中第一時(shí)間啟動(dòng)的并不是數(shù)學(xué)模塊，這就很容易造成“看是要看見，卻不明白，聽是要聽見，卻不曉得”的奇特現(xiàn)象。

難怪蒙臺(tái)梭利女士會(huì)說：說得越少，教得越好。轉(zhuǎn)而主張用教具讓孩子理解數(shù)關(guān)系和建立數(shù)概念。

這同樣也解釋了，很多時(shí)候我們家長在家里輔導(dǎo)孩子，說了一遍又一遍，孩子還是不懂。因?yàn)?，一方面語言并不能天然啟動(dòng)我們的數(shù)學(xué)思考模式，另一方面家長也不知道如何運(yùn)用語言的技巧，引導(dǎo)孩子孩子進(jìn)入數(shù)學(xué)思考模式。

舉一個(gè)例子：

比如：我們雖然已經(jīng)反復(fù)跟孩子說：“先乘除后加減”，可是孩子一做題，常常還是“6+4×3=10×3”，是孩子沒記住口訣嗎？并不是。

造成錯(cuò)誤的大多數(shù)情況，是孩子根本不理解這句話背后的數(shù)學(xué)含義，以及在什么條件下使用這句話。除非孩子在心里（大腦的數(shù)學(xué)認(rèn)知區(qū)里）琢磨明白其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，才能夠真正掌握這項(xiàng)原則，只搞懂語言表面的意思，并不代表理解了數(shù)學(xué)本質(zhì)。

語言是一把鑰匙

聊到這里，大家可能要說，一方面，語言是教學(xué)的主要媒介，教師用語言進(jìn)行啟發(fā)、講解；教材用文字組織，學(xué)生必須感知語言性刺激、借助理解進(jìn)行學(xué)習(xí)，語言是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)繞不過的坎。

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另一方面，語言和數(shù)學(xué)之間沒有天然的促進(jìn)作用，我們又該如何才能引導(dǎo)我們的孩子，進(jìn)入到數(shù)學(xué)思維的這扇大門中呢？

就拿上面的那個(gè)錯(cuò)題舉例，我們?nèi)绾斡谜Z言解釋給孩子聽，使得他們可以啟動(dòng)數(shù)學(xué)思考？以下列出一種可能的方法，供大家參考。

?重述問題，闡明現(xiàn)場，回溯原理：

6+4×3是什么意思？是6加上4×3，還是先做6+4，再乘以3？這時(shí)候的孩子只要提一下“先乘除后加減”，基本都能明白過來。

?分解問題，指出關(guān)鍵，營造沖突：

4×3是什么意思？4×3就是3個(gè)4連加，也就是4+4+4（這一步非常重要，很多孩子沒有搞清楚乘法的本質(zhì)，導(dǎo)致之后的一系列錯(cuò)誤）。

然后可以問孩子一個(gè)問題：6+4+4+4是否等于10+10+10？結(jié)果是顯而易見的。

?轉(zhuǎn)換視角，呈現(xiàn)矛盾，厘清真相：

然后我們就可以列出變化的等式，并進(jìn)行計(jì)算：6+4×3=6+4+4+4，而6+4+4+4≠10+10+10≠10×3；當(dāng)我們把一個(gè)略顯復(fù)雜的算式還原成基礎(chǔ)狀況，我們其實(shí)是引導(dǎo)孩子進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)的探索。

在這一場“冒險(xiǎn)”中，孩子經(jīng)歷了從加法變成乘法的簡化抽象歷程，這時(shí)候向孩子揭示6+4×3=10×3的錯(cuò)謬性，并再一次回到“先乘除后加減”口訣上，孩子就更容易理解口訣背后的內(nèi)在邏輯，方便進(jìn)入數(shù)學(xué)思考之中。

在這個(gè)過程中，主要把握的是如何通過語言呈現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)，我把這個(gè)稱之為“用語言給孩子搭建的思維臺(tái)階”。

所以，我的一個(gè)小小結(jié)論——語言是一把鑰匙。這句話怎么理解呢？

[if !supportLists]·[endif]語言僅僅是一把鑰匙而已。

既然說是鑰匙，就不是真正的寶藏，以為獲得鑰匙就一定能獲得寶藏的想法是不足取的，我們需要認(rèn)識(shí)到語言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的有限性；語言并不能代替數(shù)學(xué)思考本身；

[if !supportLists]·[endif]語言是一把特制的鑰匙。

一把鑰匙開一把鎖，用來解釋、理解數(shù)學(xué)問題的語言，和日常生活中的語言大相徑庭，有很多需要我們特別注意的地方。

如果我們單純的認(rèn)為，寫寫作文就一定能夠提高孩子理解數(shù)學(xué)概念的能力，念念唐詩就可以一定可以改善他們讀題和做應(yīng)用題的水平，那是緣木求魚，刻舟求劍。我們需要的，是一把特別為數(shù)學(xué)定制的“鑰匙”——數(shù)學(xué)語言。

語言鑰匙所連接的，一頭是現(xiàn)實(shí)問題，另一頭是抽象的數(shù)學(xué)思考。

需要特別注意的是，語言本身也是一種抽象符號，并且是線性的，而真實(shí)問題則是具象、立體的，孩子需要學(xué)會(huì)通過語言，從問題中還原真實(shí)情景，理解問題和條件各個(gè)部分的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行數(shù)學(xué)式的思考，這樣才使得數(shù)學(xué)解答成為可能。

另一方面，孩子也需要學(xué)會(huì)從解釋數(shù)學(xué)原理的抽象語言中還原真實(shí)問題和情景，舉一反三，以深刻的理解概念。

換一句話說：我們需要引導(dǎo)孩子，透過語言現(xiàn)象看到背后的問題實(shí)質(zhì)，并將問題數(shù)學(xué)化。

嗯，講起來，感覺真的是很容易啊！

自然語言和數(shù)學(xué)語言

既然我們說，讓我們的孩子認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，需要一把特別為數(shù)學(xué)定制的“鑰匙”——數(shù)學(xué)語言。那問題來了：什么是數(shù)學(xué)語言？

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其實(shí)，數(shù)學(xué)語言是一種特別的語言形式，它是為了理解數(shù)量關(guān)系和空間形式而慢慢形成的。在數(shù)學(xué)語言中，除了我們?nèi)粘＝?jīng)常使用的文字語言，還有日常不太用的符號語言和圖形語言。

這個(gè)問題如果真要展開討論，冗長、枯燥而又無趣，所以我決定“以下省略五千字”，只講一講數(shù)學(xué)語言中的文字語言部分和我們平時(shí)講話的核心差別。

讓我們來看兩句話：

“父親一個(gè)是胖子，走過自然去要費(fèi)事些。我本要來去的，他不肯，只好讓去他?！?/p>

（《背影》，朱自清）

大家看出有什么問題了嗎？機(jī)智如你一定已經(jīng)看出來了，在這兩句話中，有很多顛倒的詞序，但我們閱讀時(shí)似乎沒有任何障礙，都讀懂了，很令人驚奇吧！再讓我們看下面的幾個(gè)詞：

“撿到、小明、蘋果、紅”

大家有沒有發(fā)現(xiàn)，這些詞無論怎么變換次序，我們都能夠理解其中要表達(dá)的意思，這就是我們?nèi)粘ＵZ言的特點(diǎn)，重視語義而非次序（我們的大腦會(huì)自動(dòng)腦補(bǔ)）。

但是，在我們用語言表達(dá)數(shù)學(xué)思想的時(shí)候，這招是行不通的。比如：“2與4的平方和”；“2與4和的平方”。雖然這兩句話用的詞完全一樣，但是語序的不同導(dǎo)致了意思完全不同。這就是數(shù)學(xué)語言和自然生活語言的最大區(qū)別。

在自然語言對句子的理解中，我們是首先通過語詞本身的意思來進(jìn)行解讀，而句法的分析則是在需要證實(shí)和去除歧義的時(shí)候才啟用的。但數(shù)學(xué)語言表達(dá)的特點(diǎn)，更多的是運(yùn)用句法結(jié)構(gòu)上的不同，去理解和表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系、結(jié)構(gòu)和變化，再根據(jù)結(jié)構(gòu)關(guān)系，進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。

所以，孩子通過語言理解數(shù)學(xué)才會(huì)如何的困難，因?yàn)閺奶煨猿霭l(fā)，孩子都是率先使用句子表面意義出發(fā)，而不是從句子結(jié)構(gòu)去理解。

腦科學(xué)的研究也證明了這個(gè)觀點(diǎn)，剛才我們講到的NeuroSpin中心的大腦研究中顯示了一個(gè)細(xì)節(jié)，當(dāng)我們處理數(shù)學(xué)命題時(shí)，腦部激活的區(qū)域與大腦BA44區(qū)域發(fā)生了交疊，而BA44區(qū)主要負(fù)責(zé)的內(nèi)容就是語言的語法結(jié)構(gòu)，這是數(shù)學(xué)思考中唯一從語言區(qū)調(diào)動(dòng)的部位。

因此，我們是否可以得出一個(gè)合理的推論：

[if !supportLists]o[endif]語序邏輯性顯示了問題的核心本質(zhì)結(jié)構(gòu)，使得數(shù)學(xué)簡化成為可能。對于語法的理解才是我們真正推動(dòng)數(shù)學(xué)思考的核心。

從這個(gè)角度說，我的小學(xué)數(shù)學(xué)老師講學(xué)好語文才能學(xué)好數(shù)學(xué)，一點(diǎn)沒錯(cuò)。只不過，哲學(xué)催生了數(shù)學(xué)和語言邏輯，它們才是天然的盟友。

如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言鑰匙，幫助孩子開啟數(shù)學(xué)寶庫的大門

說了這么多，估計(jì)這個(gè)話題才是大家真正感興趣的。不好意思讓大家久等了。

先說下，什么是孩子在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，家長最大的困惑？

[if !supportLists]·[endif]一是孩子讀不懂文字題；

[if !supportLists]·[endif]二是孩子不會(huì)看數(shù)學(xué)教科書；

[if !supportLists]·[endif]三是理解數(shù)學(xué)概念難上加難。

怎么會(huì)造成這一局面的呢？這還得分兩個(gè)層面來講清楚。

第一個(gè)原因：基礎(chǔ)薄弱

語言的認(rèn)識(shí)規(guī)律，是從單音節(jié)詞到雙音節(jié)詞，直至多音節(jié)詞。從單個(gè)詞到雙詞短句，直至到長句。這個(gè)過程是循序漸進(jìn)的積累過程。但是我所遇到的大多數(shù)家庭，都不會(huì)有意識(shí)的在孩子早期語言萌芽時(shí)，主動(dòng)幫助孩子積累邏輯性的詞匯，這給孩子的數(shù)學(xué)語言發(fā)展帶來很大的缺失。

我們知道，概念的形成是伴隨語言的發(fā)展而進(jìn)行的，數(shù)學(xué)概念也是一樣。在孩子的早期，我們應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)孩子正確的使用概念詞匯，以幫助他們發(fā)展數(shù)學(xué)語匯。

比如說像下面的這些語詞，就應(yīng)該在學(xué)齡前完成和孩子的討論，并讓孩子搞清楚是什么意思。

我見過一些家長，在教孩子概念詞匯的時(shí)候，往往出現(xiàn)很多問題，比如在教有關(guān)比較的詞匯，諸如大小，長短等等，會(huì)忘記體現(xiàn)相對性，一個(gè)勁地說：大，大的，大蘋果。卻不會(huì)把兩個(gè)蘋果放在一起，把大和小這兩個(gè)詞比較著一起教給孩子。這些情況還發(fā)生在方位等詞匯上。這都需要我們引起注意。

等到孩子上了小學(xué)，學(xué)校的語文課并沒有把口語表達(dá)放在課程的主體地位，更沒有單獨(dú)的語言表達(dá)訓(xùn)練。加之中文的語言特點(diǎn)，屬于象形文字，和英語等編碼型語言相比，語言的邏輯性天然要差一些，這就使得孩子的語言邏輯能力更下一層樓。遇上數(shù)學(xué)中那些需要語言邏輯做基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)化語言，自然一腦袋漿糊。

所以，如果我們希望改變孩子們數(shù)學(xué)語言理解能力弱的現(xiàn)狀，我開的“藥方”是：

?盡早完成基本詞匯的邏輯含義探索

這個(gè)上面已經(jīng)講了很多，就不再重復(fù)了。

?注重句式結(jié)構(gòu)變化和背后的意義改變

對家庭而言，我建議可以多用游戲的方式，來幫助孩子理解語言句序變化及其內(nèi)涵改變。

比如說：我們可以和孩子玩“倒裝句”的游戲，來探索哪些句式改變后，內(nèi)容是改變的，而怎樣做是不改變的。還可以玩玩“咬文嚼字”的游戲，全家一起來辨析一下病句中的問題出在哪里，等等。

?善用提問機(jī)制，引導(dǎo)孩子探索數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)和關(guān)系

我想，大多數(shù)家長最近都經(jīng)常聽到“批判性思維”這個(gè)詞，其實(shí)批判性思維的第一個(gè)模型是“蘇格拉底方法”或“助產(chǎn)術(shù)”——蘇格拉底所倡導(dǎo)的一種探究性質(zhì)疑（probing

questioning），也就是詰問式。通過連續(xù)的提問來揭示事物本質(zhì)，來引發(fā)我們的思維。

思維的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)性的，陳述性的語言能將事物原貌很好的表達(dá)出來，但不能啟動(dòng)我們的思維。而提問，能夠激發(fā)我們向真相進(jìn)軍，啟動(dòng)我們思考，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更是如此。

關(guān)鍵是我們?nèi)绾伟岩粋€(gè)大問題，分解成若干小問題，把一個(gè)大臺(tái)階鑿成若干小臺(tái)階，幫助孩子一步一個(gè)臺(tái)階的，在數(shù)學(xué)階梯上走的穩(wěn)。

第二個(gè)原因：對于數(shù)學(xué)語言的理解過于窄化

其實(shí)講到數(shù)學(xué)語言，有時(shí)候我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)問題，光用文字語言很難說的清楚。文字語言的特征是通俗、易懂，但描述起來是線性的，數(shù)學(xué)思維隱藏在句法結(jié)構(gòu)中，不容易表露，孩子也很難理解；

剛才我們聊到了數(shù)學(xué)語言的三個(gè)組成部分：文字語言、符號語言和圖形語言。

數(shù)學(xué)符號雖然抽象，不易理解，但十分簡潔，描述起來給人以結(jié)構(gòu)感；圖表語言比文字語言和一般符號語言更具直觀性，容易形成表象。

真正要讓孩子全面深入的理解數(shù)學(xué)，光靠文字語言一項(xiàng)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要符號和圖形，甚至需要作為母語的自然語言配合，運(yùn)用引申，比喻，解構(gòu)等方式，幫助孩子理解抽象的數(shù)學(xué)想法。

所以一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常是數(shù)學(xué)符號語言、文字語言、圖表語言和自然語言的優(yōu)勢互補(bǔ)和有機(jī)融合。

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在美國的兒童數(shù)學(xué)教育體系中，除了數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)層面的學(xué)習(xí)，還包含數(shù)學(xué)思考過程的學(xué)習(xí)，并且把這一部分放到非常重要的地位。內(nèi)容包括：

問題解決能力

推理與驗(yàn)證能力

交流能力

關(guān)聯(lián)能力

表征能力

對于上述的五種能力培養(yǎng)，在國內(nèi)的數(shù)學(xué)教育同樣是非常重視的，在教育綱要中也有類似的表述。其中推理驗(yàn)證、交流和表征這三項(xiàng)，跟孩子的數(shù)學(xué)語言能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高有著非常緊密的關(guān)系。

那對于我們國內(nèi)家長，如何運(yùn)用這些理念來幫助孩子提高數(shù)學(xué)語言能力呢？

首先說說推理證明：

推理證明的核心即歸納推理能力和演繹推理能力，而數(shù)學(xué)能力的核心之一就是以推理證明為過程的邏輯思維能力。

因此，我們可以在合適的時(shí)間，在家中安排一些類似家庭大講堂的活動(dòng)，讓孩子在一個(gè)相對正式氛圍里，闡述對一些數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)和看法，并對這些觀點(diǎn)進(jìn)行說明和論證，開始不需要推理做的非常嚴(yán)謹(jǐn)，但是需要鼓勵(lì)孩子大膽的嘗試。

在這樣的過程中，他們會(huì)不自覺的啟動(dòng)語言能力中的邏輯語序思考，提高他們對數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確性、邏輯性、提高他們語言結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)本質(zhì)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)經(jīng)驗(yàn)。

另外，數(shù)學(xué)日記也是一個(gè)不錯(cuò)的辦法，我就知道有一位家長，鼓勵(lì)自己的女兒，開設(shè)微信公號，專門發(fā)表日常的數(shù)學(xué)思考，我想她的數(shù)學(xué)語言能力一定非常棒。

其次是交流，交流就沒有推理證明這么正式，關(guān)于數(shù)學(xué)思想的交流是隨時(shí)可以展開的。既然說是交流，首當(dāng)其沖的是傾聽他人敘述，然后才是口頭、書面等方法進(jìn)行數(shù)學(xué)觀點(diǎn)表達(dá)。

在交流的過程中，我們的孩子需要解釋自己的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、解題過程、方法和結(jié)果，并適當(dāng)?shù)脑u價(jià)他人的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

最后講講表征，＂表征＂這一概念的含義非常豐富。它既可以指人腦內(nèi)部的心智活動(dòng)的表現(xiàn)，又可以指思維活動(dòng)的外在表現(xiàn)形式；它既可指表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，又可指對數(shù)學(xué)關(guān)系的表現(xiàn)形式。

在上面我們說道的數(shù)學(xué)語言中，表征往往更多的使用符號語言和圖形語言來表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想。在另一篇文章中，我提到的新加坡數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)建?！癕odel-Drawing”，本質(zhì)上也是數(shù)學(xué)表征的一種形式。

除了上述的三種模式，我們還可以讓孩子創(chuàng)編一些應(yīng)用題，并以提高他們的數(shù)學(xué)語言能力。

講到這里，我們這次的閑聊也接近尾聲了，最后想要吐個(gè)槽。前兩天微信上看到有朋友轉(zhuǎn)一道小學(xué)應(yīng)用題，題目說：

“小明有38顆大白兔奶糖，吃了28顆，79顆阿爾卑斯糖吃了58顆，196顆棒棒糖吃了137根，請問他現(xiàn)在有什么？”

孩子回答：“小明有糖尿病”。

我想說，這么無聊的題目，是要有多貧瘠的語言和想象力，才能設(shè)計(jì)出來啊！

所以除了數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解以外，文字上的美感和合理性，在一定程度上還是要注意的。這里貼兩道古代的一元二次方程題，讓我們體會(huì)一下數(shù)學(xué)和語言的雙重美感。

《希臘選集》第14卷是公元500年左右希臘學(xué)者米特洛多魯斯（Metrodorus）所編的算術(shù)問題或謎語，都以詩歌寫成。

丟番圖墓志銘

“過路的人！

這兒埋葬著丟番圖。

請計(jì)算下列數(shù)目，

便可知他一生經(jīng)過了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，

十二分之一是無憂無慮的少年。

再過去七分之一的年程，

他建立了幸福的家庭。

五年后兒子出生，

不料兒子竟先其父四年而終，

只活到父親歲數(shù)的一半。

晚年喪子老人真可憐，

悲痛之中度過了風(fēng)燭殘年。

請你算一算，丟番圖活到多大，

才和死神見面？”

請你算一算，丟番圖到底活到多少歲？

另一計(jì)算壽命的問題是這樣敘述的：

旋轉(zhuǎn)不停的黃道上的日、月和五星

為你轉(zhuǎn)出一幅神秘的天宮圖

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[endif]

你一生的六分之一

與母親相依為命把時(shí)光度

接下來的八分之一

被逼迫著給敵人做馬牛

后面的三分之一

上帝保佑你平安地回到了故土

你有了妻子和遲到的兒子

每天的生活過得無憂無慮

誰知不幸再次降臨在你頭上

賽西亞人的長矛把妻兒的生命奪走

整整二十七個(gè)冬夏春秋

你那悲傷的眼淚不停的流

命運(yùn)之神如此殘酷

讓你凄涼的走到生命的盡頭

請問這個(gè)悲慘的人生虛度多少年頭？

無獨(dú)有偶，明代珠算大師程大位在《直指算法統(tǒng)宗》中，也用《西江月》給出一道關(guān)于勾股定理的詩：

平地秋千未起，踏板一尺離地。

送行二步與人齊，五尺人高曾記。

仕女佳人爭蹴，終朝笑話歡戲。

良工高師請言之，借問索長有幾。

你害怕數(shù)學(xué)嗎？

數(shù)學(xué)焦慮（math

anxiety）是指個(gè)體對于解決數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生緊張、恐懼、擔(dān)憂情緒。

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它是學(xué)術(shù)焦慮（academic anxiety）的一種，其他學(xué)科也可能會(huì)讓人產(chǎn)生焦慮，但在數(shù)學(xué)上焦慮發(fā)生的概率較高，造成的后果也較嚴(yán)重：除了影響學(xué)業(yè)表現(xiàn)，還會(huì)導(dǎo)致自我懷疑、降低自我效能感等。數(shù)學(xué)不好，仿佛做人都抬不起頭……

在日常生活中的表現(xiàn)包括：

[if !supportLists]·[endif]一做數(shù)學(xué)題就煩躁，或不由自主想睡覺；

[if !supportLists]·[endif]參加與數(shù)學(xué)有關(guān)的考試會(huì)非常緊張；

[if !supportLists]·[endif]十分回避與數(shù)學(xué)有關(guān)的事務(wù)，能用計(jì)算器的絕不口算；

[if !supportLists]·[endif]一位不愿透露姓名的Milo同學(xué)表示9*9乘法表背不下來（已被群嘲）

[if !vml]

[endif]

雖然數(shù)學(xué)恐懼癥（math phobia）這個(gè)詞是人們硬造出來的，也不是什么真實(shí)的“疾病”，但它卻能帶來真實(shí)的痛苦。

芝加哥大學(xué)的研究者設(shè)計(jì)了這樣的實(shí)驗(yàn)，當(dāng)屏幕上出現(xiàn)藍(lán)塊時(shí)，表示下一題是普通文字題，而屏幕出現(xiàn)黃點(diǎn)時(shí)，則預(yù)示下一題是數(shù)學(xué)題。對被試進(jìn)行fMRI掃描發(fā)現(xiàn)：當(dāng)他們看到黃點(diǎn)時(shí)，后腦島（posterior insula）神經(jīng)有強(qiáng)烈激活，這部分腦區(qū)被證明與肉體疼痛經(jīng)驗(yàn)相關(guān)（Lyons & Beilock，2012）。

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[endif]

但奇怪的是，被試在真正解方程的時(shí)候，并沒有出現(xiàn)疼痛的反應(yīng)。既然不是怕數(shù)學(xué)題本身（畢竟本子上的幾個(gè)數(shù)字公式?jīng)]什么殺傷力），那么人們怕的到底是什么呢？

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[endif]

研究者認(rèn)為，恐懼是由預(yù)期（anticipation）產(chǎn)生的。解數(shù)學(xué)題并不痛苦，想到待會(huì)兒要做數(shù)學(xué)題才使人產(chǎn)生生理性疼痛。

僅僅是知道下節(jié)課是數(shù)學(xué)、等下要進(jìn)行數(shù)學(xué)考試、甚至單純地想象將要到來的解題行為，都足以觸發(fā)人們的消極情緒。以前每個(gè)期末我要打開高數(shù)書開始復(fù)習(xí)之前，都能感到了一陣巨大的阻抗和煩躁。

這就像是你在看恐怖片的時(shí)候，突然音樂變得低沉而壓抑，你知道鬼可能下一秒就要出來嚇你了一樣，等待數(shù)學(xué)降臨之前的每一秒對有數(shù)學(xué)焦慮的人來說都是煎熬。

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[endif]

數(shù)學(xué)焦慮如何影響了我們？

人們很容易覺得，之所以會(huì)害怕數(shù)學(xué)是因?yàn)槟銛?shù)學(xué)不好。也有人認(rèn)為，正是因?yàn)榻箲]才導(dǎo)致我發(fā)揮失常呢！數(shù)學(xué)焦慮和數(shù)學(xué)成績差到底是誰導(dǎo)致誰，始終也沒有定論，二者間很可能是雙向作用的。

心理學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)焦慮縮減了一種叫做工作記憶（working memory）的認(rèn)知資源。工作記憶是幫助我們整理當(dāng)前信息，完成現(xiàn)有任務(wù)的一種短時(shí)記憶（Maloney & Beilock，2012）。

比如，當(dāng)心算12乘以9時(shí)，我們一般先算2*9=18，再算1*9=9，這時(shí)，18被儲(chǔ)存在工作記憶中，以便再下一步計(jì)算中，提取出1進(jìn)位。

然而，當(dāng)我們把認(rèn)知資源都花在“擔(dān)心能不能考好”時(shí)，這些焦慮占了本該用于解題的資源。這時(shí)，可能連一些最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)能力也變得十分吃力。

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這也就是為什么會(huì)覺得，這道題我平時(shí)是會(huì)做的，怎么一到考試就不會(huì)了？

是什么造成了數(shù)學(xué)焦慮？

1.環(huán)境塑造潛意識(shí)

在多文化的環(huán)境中，我這張亞洲面孔讓國際友人產(chǎn)生過很深的誤會(huì)。每當(dāng)我說我數(shù)學(xué)不好時(shí)，外國同學(xué)就會(huì)一臉不信：“別逗了，你是中國人哎！”這讓我感到，數(shù)學(xué)差不再是我一個(gè)人的事情——我還給同胞丟人了！于是又更加深了焦慮。

小范圍的社會(huì)環(huán)境，周圍人的觀念、家長和老師教育的方式，都讓數(shù)學(xué)在人們口中變成了一件十分困難深?yuàn)W的事，這樣的觀點(diǎn)被植入學(xué)生的潛意識(shí)中，就會(huì)影響他們在面對數(shù)學(xué)時(shí)的心態(tài)。

同時(shí)，人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)好就代表整體智商高，邏輯思維較強(qiáng)。其他學(xué)科成績優(yōu)異都說明不了什么，說不定還會(huì)被嘲笑“只會(huì)背書”，只有數(shù)學(xué)好的孩子才會(huì)被認(rèn)為是聰明的。

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而小孩子自己也內(nèi)化了這種觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)成績不好會(huì)讓他們強(qiáng)烈地感到自己能力不足、或不夠聰明。

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2.快速解題的外部壓力

從小父母就注重訓(xùn)練我的速算能力，在家玩牌時(shí)，倆人各出一張牌讓我迅速加出答案。在超市采購?fù)辏莆覍χ婚L串的購物單據(jù)，核算一遍總價(jià)。……說多了都是淚。

我媽還花心思給我報(bào)珠算班，于是我用實(shí)力證明我真的不是這塊料。算盤被我當(dāng)成古箏玩兒了好幾節(jié)課之后，老師坦誠地對我媽說：讓孩子學(xué)個(gè)樂器也不錯(cuò)。

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外部環(huán)境（學(xué)校、家庭、社會(huì)）對于快速解題有很高的標(biāo)準(zhǔn)，一定要強(qiáng)調(diào)算得“又快又準(zhǔn)”才好，根本不給學(xué)生充足的思考時(shí)間。但其實(shí)“快”和“聰明”并沒有必然的聯(lián)系。這樣高壓緊迫的情境，只會(huì)給學(xué)生帶來焦慮。

[3.性別偏見

雖然已經(jīng)被澄清證誤過很多次，但是“男生數(shù)學(xué)比女生好”的刻板印象仍然普遍存在。甚至第一位獲菲爾茲獎(jiǎng)的女性數(shù)學(xué)家Mariyam Mirzakhani，也曾在高中時(shí)因?yàn)楸焕蠋熣f“沒有天賦”而對數(shù)學(xué)失去信心和興趣。

如果一個(gè)女生在數(shù)學(xué)成績好，往往會(huì)聽到諸如“你一個(gè)女生居然數(shù)學(xué)這么好！”、“你居然是數(shù)學(xué)系！”此類明褒暗貶的話。

但無論怎樣，女生們?nèi)匀灰嬖V自己：數(shù)學(xué)能力與性別無關(guān)。只有當(dāng)你相信二者有關(guān)時(shí)，它才真的會(huì)阻礙你。

曾經(jīng)我以為我這輩子都斗不過數(shù)學(xué)了，你就是再提倡趣味教學(xué)，將數(shù)學(xué)與興趣結(jié)合，我還是會(huì)害怕。但是，當(dāng)我必須面對數(shù)學(xué)的時(shí)候，以下有一些小技巧可以幫助緩解焦慮。對于那些目前不得不和數(shù)學(xué)接觸的朋友們，我只能幫你到這了……

1.放松練習(xí)

一些小的放松技巧是很管用的。比如：深呼吸幫助緩解緊張，把自己的焦慮寫下來，可以幫助清空工作記憶。如果條件允許，可以適當(dāng)進(jìn)行一些體力活動(dòng)，如快走、原地跳躍。

2.區(qū)分解難題和數(shù)學(xué)

很多人一想到做數(shù)學(xué)題，就有種要解決黎曼猜想的感覺。但其實(shí)數(shù)學(xué)本身并不等于解決世紀(jì)難題，它還包括很多有趣的概念、生活中很有用的知識(shí)。我們可以通過在理性上區(qū)分“獲得數(shù)學(xué)知識(shí)”和“解決復(fù)雜問題”來改變面對數(shù)學(xué)時(shí)的心態(tài)。

（老師教導(dǎo)我們：看不懂的題就直接跳過）

3.要對自己有信心

“相信你自己”并不是一句雞湯，成長型思維模式（growth

mindset）就是指相信自己能夠通過努力取得進(jìn)步。

實(shí)驗(yàn)證明人們在習(xí)得成長型思維模式后，數(shù)學(xué)成績有顯著的上升（Dweck，2014）。

所以，要緩解對于數(shù)學(xué)的恐懼，首先就要腦補(bǔ)自己是可以成長進(jìn)步的，之后你真的就會(huì)進(jìn)步。

后想要說的是，有數(shù)學(xué)焦慮的人并不一定學(xué)不好數(shù)學(xué)，對于那些慢而深的思考者，他們就像文中提到的兩位菲爾茲獎(jiǎng)獲得者一樣，都曾因?yàn)樵谝笏俣群涂荚嚨慕虒W(xué)環(huán)境中而產(chǎn)生焦慮，誤以為自己不擅長數(shù)學(xué)。但事實(shí)上也許只是他們目前所處的教學(xué)環(huán)境有問題。

我們雖然無法一時(shí)內(nèi)改變整個(gè)環(huán)境，但可以大膽地承認(rèn)自己對數(shù)學(xué)存在焦慮，而這種正視就是開始改變的第一步。（據(jù)說轉(zhuǎn)發(fā)文章大膽承認(rèn)的人，后來數(shù)學(xué)能力都提高了……）