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上一章介紹了如何用圖標來表示數(shù)值的分布；有些統(tǒng)計型數(shù)值通常也用來描述數(shù)據(jù)的分布：
眾數(shù)
中位數(shù)
平均值
范圍
標準差（方差）

描述分布的數(shù)值

眾數(shù)、中位數(shù)、均值

這三者一般用于描述中心量數(shù)（measures of center）

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

中位數(shù)：按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)；對于有限的數(shù)集，可以通過把所有觀察值高低排序后找出正中間的一個作為中位數(shù)。如果觀察值有偶數(shù)個，通常取最中間的兩個數(shù)值的平均數(shù)作為中位數(shù)
當N為奇數(shù)時，M(0.5)=X(N+1)/2
當N為偶數(shù)時，M(0.5)=[X(N)/2+X(N+1)/2]/2

均值：是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)

中心量數(shù)

范圍、標準差

以上兩指標分散程度的度量：

范圍：一組數(shù)據(jù)中，最大值-最小值

標準差：總體各單位標準值與其平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根

范圍、標準差

四則運算對描述分布的數(shù)值計算的影響

中心度量值（中位數(shù)，眾數(shù)，平均值）受任何加減乘除的影響；
分散度量值（范圍，標準差）僅受乘除的影響；

假設一組數(shù)值每個基礎變量均增量相同的量，相當于整體分布右移，但其分散程度并未發(fā)生變化；
若基礎變量同時發(fā)生多項運算，均值的計算同時發(fā)生多項運算，方差的計算僅針對乘除有效。

四則運算對分布度量值的影響

影響示例

離群值對描述分布的數(shù)值計算的影響

離群值（outlier）是指數(shù)據(jù)中有一個或幾個數(shù)值與其他數(shù)值相比差異較大；
在描述分布的數(shù)值中，均值、范圍、標準差均會受到離群值的影響；而眾數(shù)和中位數(shù)則相對穩(wěn)定

離群值對度量的影響

5數(shù)概括法及箱形圖

五數(shù)概括法即用下面的五個數(shù)來概括數(shù)據(jù)：

最小值；
第1四分位數(shù)(Q1)： 位置= (n+1) × 0.25
中位數(shù)(Q2)：?位置= (n+1) × 0.5
第3四分位數(shù)(Q3)：?位置= (n+1) × 0.75
最大值。

箱形圖提供了五數(shù)概括法的視覺展示，同時箱形圖也可展示異常值。
異常值的判斷標準如下：數(shù)值<Q1-1.5*IQR? 或者? 數(shù)值>Q3+1.5*IQR
其中，IQR為四分位間距=Q3-Q1

箱型圖

對稱性與偏度

當我們在說對稱性（symmetry）和偏度（skewness）時，我們主要看的是分布圖形的形狀（在此主要涉及到三種圖形：直方圖、莖葉圖、箱形圖）

對稱式分布，圖形左右完全對稱；中位數(shù)=均值

非對稱式分布

左偏態(tài)：左側尾部拖得很長；此時數(shù)據(jù)位于均值左邊的比位于右邊的少，直觀表現(xiàn)為左邊的尾部相對于與右邊的尾部要長；中位數(shù)>平均數(shù)

右偏態(tài)：右側尾部拖得很長，此時數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的少，直觀表現(xiàn)為右邊的尾部相對于與左邊的尾部要長；平均值>中位數(shù)

分布的對稱性