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二項式定理有關(guān)問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要知識點，在歷年的高考中幾乎每年都有涉及. 因此掌握二項式定理問題的常見題型及其解題策略是十分必要的. 其考試題型主要有：求展開式中指定的項、求展開式中某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)、求展開式中的系數(shù)和等，其難度不會太大，但題型可能較靈活．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題.

類型一求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)

求二項展開式中的系數(shù)問題

使用情景：求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)
解題步驟：

第一步首先求出二項展開式的通項；
第二步根據(jù)已知求出展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)；
第三步得出結(jié)論.
例1. $(1-2x)^4$ 展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
【答案】A
【解析】第三項的二項式系數(shù)為 $C_4^2=6$ ,選 $A$ .

【總結(jié)】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第 $x+1$ 項，再由特定項的特點求出 $x$ 值即可。

(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).

類型二二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和

二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和

使用情景：二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和
解題步驟：

第一步觀察題意特征，合理地使用賦值法；
第二步區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì)；
第三步得出結(jié)論.

例2

(1)設(shè) $(1＋x)^n＝a_0＋a_1x＋a_2x^2＋…＋a_nx^n$ ，若 $a_1＋a_2＋…＋a_n＝63$ ，則展開式中系數(shù)最大的項是(　　)
A． $15x^2$ B． $20x^3$ C． $21x^3$ D． $35x3$
(2)若 $\left(x+\cfrac{1}{x}\right)^n$ 的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中 $\cfrac{1}{x^2}$ 的系數(shù)為________．
【答案】 (1)B；(2)56.
【解析】

（1） $\because(1＋x)^n＝a_0＋a_1x＋a_2x^2＋…＋a_nx^n$ ,

令 $x=0,$ 得 $a_0=1$

令 $x=1$ ，則 $\because(1＋1)^n＝a_0＋a_1x＋a_2x^2＋…＋a_nx^n,\because n=6,$

又 $(1+x)^6$ 的展開式二項式系數(shù)最大項的系數(shù)最大，

$\therefore(1+x)^6$ 的展開式系數(shù)最大項為 $T_4=C_5^3x^3=20x^3$

（2）由題意知， $C_n^2=C_n^6,\therefore n=8$

$\therefore T_{r+1}=C_8^r\cdot x^{8-r}\cdot\left(\cfrac{1}{x}\right)^r=C_8^r\cdot x^{8-2r}$ ,

當(dāng) $8-2r=-2$ 時， $r=5,\therefore \cfrac{1}{x^2}$ 的系數(shù)為 $C_8^5=C_8^3=56$

【總結(jié)】

(1)第(1)小題求解的關(guān)鍵在于賦值，求出 $a_0$ 與n的值；第(2)小題在求解過程中，常因把n的等量關(guān)系表示為 $C_n^3＝C_n^7$ ，而求錯n的值．

(2)求解這類問題要注意：

①區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì)；

②根據(jù)題目特征，恰當(dāng)賦值代換，常見的賦值方法是使得字母因式的值或目標(biāo)式的值為1，－1.

類型三二項式定理的應(yīng)用

二項式定理的應(yīng)用

使用情景：使用二項式定理處理整除問題
解題步驟：

第一步通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與余數(shù)密切相關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式；
第二步再用二項式定理展開，但要注意兩點：一是余數(shù)的范圍， $a＝cr＋b$ ，其中余數(shù) $∈[0，r)$ ，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負(fù)，二是二項式定理的逆用．；
第三步得出結(jié)論.