線性代數(shù)的本質(zhì)_筆記

線性代數(shù)的本質(zhì)

1. 向量究竟是什么

向量的加法可理解為運(yùn)動(dòng)的疊加，向量的數(shù)乘可理解為運(yùn)動(dòng)的縮放

2. 線性組合、張成的空間與基

一個(gè)基可以有另外的一對(duì)或更多線性組合而成，稱線性相關(guān)

3. 矩陣與線性變換

向量：\hat v=x\hat i + y\hat j

線性變換后的向量：Transformed\ \hat v=x(\ Transformed\ \hat i) + y(\ Transformed\ \hat j)
\hat i= \begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} \ \hat j= \begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1x+3y\\-2x+0y\end{bmatrix}

2\times 2矩陣\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}，對(duì)于上面特化為\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\end{bmatrix}，即
\begin{bmatrix}\hat i&\hat j\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}
可應(yīng)用線性變換

4. 矩陣乘法與線性變換復(fù)合

\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

剪切矩陣*旋轉(zhuǎn)矩陣=復(fù)合矩陣，作用順序是先右后左

5. 行列式

\det(\begin{bmatrix}3&2\\0&2\end{bmatrix})=6描述線性變換后面積的變化為原來(lái)的6倍。

6. 逆矩陣、列空間與零空間

解法：高斯消元法和行階梯型
\begin{bmatrix}2&5&3\\4&0&8\\1&3&0\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\0\\2\end{bmatrix}

乘以矩陣可以理解為對(duì)特征重新進(jìn)行線性組合

A*\vec x = \vec v可以理解為找到一個(gè)\vec x在經(jīng)過(guò)A的線性變換后與\vec v重合。故可以理解為\vec v經(jīng)過(guò)A的逆變換后就與\vec x重合。
A*\vec x = \vec v\\ \vec x = A^{-1}\vec v
秩代表變換后空間的維數(shù)

變換后落在原點(diǎn)的向量集合被稱為零空間或核

6.1. 非方陣

3\times 2的矩陣的幾何意義是將二維空間映射到三維空間上

7. 點(diǎn)積與對(duì)偶性

點(diǎn)積\vec w \cdot \vec v = len(projected\_on\_v(\vec w)*len(\vec v)

矩陣列向量的乘法：\vec w^T * \vec v可理解為多為變一維的線性變換。

在求解一個(gè)向量在\hat u上的投影時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性：原向量的基\hat i在\hat u上的投影等于u_x；原向量的基\hat j在\hat u上的投影等于u_y

，故向量\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}在\hat u上的投影為\begin{bmatrix}u_x&u_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=u_x\cdot x+u_y\cdot y，與點(diǎn)積的形式相同。

8.1. 叉積的標(biāo)準(zhǔn)介紹

叉乘：\vec p = \vec v \times \vec w
\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix} = \det(\begin{bmatrix}\hat i&v_1&w_1\\j&v_2&w_2\\k&v_3&w_3\end{bmatrix}) = \hat i(v_2w_3-v_3w_2)+\hat j(v_3w_1-v_1w_3)+\hat k(v_1w_2-v_2w_1)

8.2. 以線性變換的眼光看叉積

叉乘：\vec v \times \vec w=\vec p得：

  • \vec p的長(zhǎng)度等于\vec v和\vec w組成的平行四邊形的面積。

  • \vec p垂直于\vec v和\vec w

對(duì)偶問題：空間到數(shù)軸的線性變換，可以找到對(duì)應(yīng)這個(gè)變換的對(duì)偶向量，使得應(yīng)用線性變換與對(duì)偶向量點(diǎn)乘等價(jià)。

這個(gè)對(duì)偶向量就是原向量的基在經(jīng)過(guò)線性變換后的基。

9. 基變換

對(duì)于使用新的基\vec b_1和\vec b_2來(lái)描述一個(gè)向量\vec x，轉(zhuǎn)換為\hat i和\hat j來(lái)描述的方式是：\begin{bmatrix}\vec b_1&\vec b_2\end{bmatrix}\times \vec x

用A表示jennifer的基向量，\begin{bmatrix}x_j\\y_j\end{bmatrix}表示用她的坐標(biāo)描述的向量，轉(zhuǎn)換為用我們的基描述的向量\begin{bmatrix}x_o\\y_o\end{bmatrix}的方法是
A\begin{bmatrix}x_j\\y_j\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_o\\y_o\end{bmatrix}
基的變換：

對(duì)于我們的線性變換C和jennifer的基向量A，將這個(gè)變換應(yīng)用到j(luò)ennifer視角的\vec v的方法是
A^{-1}\times C \times A \times \vec v
表達(dá)式A^{-1}MA暗示著一種數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)移作用，中間的M代表一種你所見的變換，外側(cè)兩個(gè)矩陣代表著轉(zhuǎn)移作用，也就是視角上的轉(zhuǎn)化。

10. 特征向量與特征值

A\vec v = \lambda \vec v

\vec v經(jīng)過(guò)A的變換后變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clambda%20%5Cvec%20v" alt="\lambda \vec v" mathimg="1">，向量\vec v仍然停留在它長(zhǎng)成的空間里。也可以理解為在A的線性變換中保持方向不變的向量\vec v的A的特征向量，變換后的縮放比例為A的特征值。

當(dāng)特征向量為基向量時(shí)，矩陣的多次相乘結(jié)果計(jì)算會(huì)很簡(jiǎn)單

如果基向量是特征向量，則稱為特征基

A的特征向量\vec v_1和\vec v_2，計(jì)算A^n的方法是:

變換為對(duì)角陣A_{diag}=\begin{bmatrix}\vec v_1&\vec v_2\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}\vec v_1&\vec v_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{bmatrix}

A^{n}=\begin{bmatrix}\vec v_1&\vec v_2\end{bmatrix}A_{diag}^{n}\begin{bmatrix}\vec v_1&\vec v_2\end{bmatrix}^{-1}

11. 抽象向量空間

線性的嚴(yán)格定義：

  • 可加性：L(\vec v+\vec w)=L(\vec v)+L(\vec w)
  • 成比例（一階齊次）：L(c\vec v)=cL(\vec v)

12. 克萊姆法則，幾何解釋

ifT(\vec v) \cdot T(\vec w)=\vec v \cdot \vec w，則T為正交變換（相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)變換），例如\begin{bmatrix} \cos(30^o)&-\sin(30^o)\\ \sin(30^o)&\cos(30^o)\end{bmatrix}。
z=\det(\begin{bmatrix} 1&0&x\\0&1&y\\0&0&z\end{bmatrix})
等于x和y軸為1的地所構(gòu)成的平行六面體的面積。

線性變換后，所有面積伸縮的比例等于給定變換的行列式。

如變換A=\begin{bmatrix}2&-1\\0&1 \end{bmatrix}（其中\begin{bmatrix}2&-1\\0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2&-1\\0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&x\\0&y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4\\0&2 \end{bmatrix}），對(duì)于\det(\begin{bmatrix}2&4\\0&2 \end{bmatrix})=\det(A)y

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