第一章 行列式

一、行列式的概念

行列式是一個數(shù)，它是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和

n階行列式是所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和

計算：三階及以下對角線法，四階及及以上展開公式

二、行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1 經(jīng)過轉(zhuǎn)置行列式的值不變

性質(zhì)2 兩行（或列）互換位置行列式的值變號

性質(zhì)3 某行（或列）如果有公因子k，則可把k提出行列式記號外

性質(zhì)4 如果行列式某行（或列）是兩個元素之和，則可把行列式拆成兩個行列式之和！?。。ú痖_）

性質(zhì)5 把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不變（倍加）

三、行列式按行（或列）展開公式

定理1.1 n階行列式等于它的任何一行（列）元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和
|A| = a{{_i}_1}A{{_i}_1} + a{{_i}_2}A{{_i}_2} + … + a{{_i}_n}A{{_i}_n} = \sum_{k = 1}^{n}a{{_i}_k}A{{_i}_k},\,\,\,\,\,\,i = 1, 2,…， n\\[2ex] |A| = a{{_1}_j}A{{_1}_j} + a{{_2}_j}A{{_2}_j} + … + a{{_n}_j}A{{_n}_j} = \sum_{k = 1}^{n}a{{_k}_j}A{{_k}_j},\,\,\,\,\,\,j = 1, 2,…， n\\[2ex]
定理1.2 行列式的任一行（列）元素與另一行（列）元素的代數(shù)余子式乘積之和為0?。。。ㄒ罏槭裁矗?br> （相當(dāng)于是構(gòu)造了一個有相同行（列）的行列式，值為0）

特殊行列式：

  • 上（下）三角行列式
  • 關(guān)于副對角線的行列式
  • 拉普拉斯展開式
  • 范德蒙行列式

四、克拉默法則

推論：若包含n個方程n個未知量的其次線性方程組的系數(shù)行列式|A| ≠ 0的充要條件是方程組有唯一零解
反之，若其次線性方程組有非零解，充要條件是其系數(shù)行列式|A| = 0

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