本系列教程來源于出版設(shè)計《基于MATLAB編程基礎(chǔ)與典型應(yīng)用書籍》，如涉及版權(quán)問題，請聯(lián)系：156204968@qq.com。 出版社：人民郵電出版社， 頁數(shù)：525。

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3.2 矩陣的分解

矩陣的分解是矩陣相關(guān)運算中的重要內(nèi)容，MATLAB提供了用于矩陣分解運算的多種函數(shù)。本節(jié)將集中介紹MATLAB所提供的矩陣分解運算函數(shù)的功能及使用。

3.2.1 LU分解

矩陣的三角分解又稱高斯消去法分解，它的目的是將一個矩陣分解成一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU。MATLAB提供了專門的函數(shù)lu來計算矩陣的LU分解。該函數(shù)的調(diào)用格式如下：

① [L,U] = lu(X)
② [L,U,P] = lu(X)

其中，返回矩陣U為上三角陣，矩陣L為下三角陣或其變換形式，且滿足LU=X。返回矩陣P為單位矩陣的行變換矩陣，滿足LU=PX。

【例3.24】矩陣X的LU分解
在命令窗口中輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣X：
>> X=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
①對矩陣X進行LU分解，在命令窗口輸入：
>> [L,U] = lu(X) %對矩陣X進行LU分解

3.2.2 奇異值分解

奇異值分解在矩陣分析中占有極其重要的作用。MATLAB提供了用于矩陣奇異值分解的函數(shù)svd，該函數(shù)是利用LINPACK程序庫中的ZSVDC編制而成的。在計算的過程中假如經(jīng)過75步QR分解仍得不到一個奇異值，那么系統(tǒng)會給出“不收斂”的提示。奇異值分解函數(shù)svd的幾種調(diào)用格式如下：

① s = svd (X)
② [U,S,V] = svd (X)
③ [U,S,V] = svd (X,0)

其中，命令①返回向量s包含矩陣X分解所得到的全部奇異值向量。命令② 返回一個與X同大小的對角矩陣S和兩個酉矩陣U與V，且滿足= USV'。命令③ 得到一個“有效大小”的分解，如果m×n維矩陣X中m>n則只計算出矩陣U的前n列，矩陣S的大小為n×n。

【例3.25】奇異值分解。
在命令窗口中輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣b1。
>> b1=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;2 4 6;5 7 5];
①對b1進行奇異值分解，返回一個與b1同大小的對角矩陣S以及兩個酉矩陣U和V。在命令窗口中輸入：
>> [U,S,V] = svd (b1) %對b1進行奇異值分解
②對b1進行奇異值分解，調(diào)用能得到一個“有效大小”的分解的函數(shù)格式，返回對角矩陣S以及兩個酉矩陣U和V。在命令窗口中輸入：
>> [U,S,V] = svd (b1,0) %對b1進行奇異值分解

3.2.3 特征值分解

MATLAB提供了eig函數(shù)來對矩陣進行特征值分解，該函數(shù)的幾種調(diào)用格式如下：

① d = eig(A)
② d = eig(A,B)
③ [V,D] = eig(A)
④ [V,D] = eig(A,'nobalance')
⑤ [V,D] = eig(A,B)
⑥ [V,D] = eig(A,B,flag)

其中，①計算矩陣A的特征值d，返回結(jié)果以向量形式存放。②計算方陣A和B的廣義特征值d，返回結(jié)果以向量形式存放。③計算矩陣A的特征值對角陣D和特征向量陣V，使AV=VD成立。④計算矩陣A的特征值對角陣D和特征向量陣V，使AV=VD成立。當(dāng)矩陣A中有與截斷誤差數(shù)量級相差不遠的值時，該指令可能更精確。'nobalance'起誤差調(diào)節(jié)作用。⑤計算矩陣A和B的廣義特征值向量陣V和廣義特征值陣D，滿足AV=BVD。最后一條命令⑥由flag指定算法計算矩陣A和B的特征值D和特征向量V。其中，flag的可能值為：'chol' 和'qz' 。當(dāng)flag值為'chol'時表示對B使用Cholesky分解算法，其中A為對稱Hermitian矩陣，B為正定陣。當(dāng)flag值為'qz'時表示使用QZ算法，其中A、B為非對稱或非Hermitian矩陣。

【3.26】特征值分解
在命令窗口中輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣A。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
對矩陣A進行特征值分解，在命令窗口輸入：
>> [V,D] = eig(A) %對矩陣A進行特征值分解

3.2.4 Cholesky分解

MATLAB提供了chol函數(shù)來對矩陣進行Cholesky分解，該函數(shù)的調(diào)用格式為：

①R = chol(X)
②[R,p] = chol(X)

函數(shù)調(diào)用格式①如果X為n階對稱正定矩陣，則存在一個實的非奇異上三角陣R，滿足R'*R = X；若X非正定，則產(chǎn)生錯誤信息。②不產(chǎn)生任何錯誤信息，若X為正定陣，則p=0，R與上相同；若X非正定，則p為正整數(shù)，R是有序的上三角陣。

【例3.27】Cholesky分解
在命令窗口中輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣A。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
對矩陣A進行Cholesky分解，在命令窗口中輸入：
>> [R,p] = chol(A) %對矩陣A進行Cholesky分解

3.2.5 QR分解

正交矩陣是指矩陣的列向量相互正交，且各個列向量的長度相等。QR分解就是將矩陣A分解成一個正交矩陣與一個上三角矩陣的乘積。MATLAB提供了用于矩陣QR分解的函數(shù)，表3.7中介紹用于矩陣QR分解的函數(shù)調(diào)用格式和功能。
表3.7 矩陣QR分解

3.2.6 Schur分解

Schur分解將使用schur函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：

①T = schur(A)
②T = schur(A,flag)
③[U,T] = schur(A,…)

命令行①-③返回正交矩陣U和schur矩陣T，滿足A = UTU'。其中，若A有復(fù)特征根，則flag='complex'，否則flag='real'。

【例3.31】Schur分解
在命令窗口輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣K。
>> K=magic(3); %生成3階的魔方陣
對矩陣K進行Schur分解，在命令窗口輸入：
>> [U,T]=schur(K) %對矩陣K進行Schur分解

3.2.7 復(fù)數(shù)特征值對角陣與實數(shù)塊特征值對角陣的轉(zhuǎn)換

即使是實陣，在其特征值中也可能出現(xiàn)復(fù)數(shù)。實際使用中常需要把這一對對共軛復(fù)數(shù)特征值轉(zhuǎn)化為一個（2x2）的實數(shù)塊。函數(shù)調(diào)用格式為：

① [VC,DC] = rsf2csf (VR,DR) % 將實舒爾形式轉(zhuǎn)化成復(fù)舒爾形式
② [VR,DR] = cdf2rdf (VC,DC) %將復(fù)舒爾形式轉(zhuǎn)化成實舒爾形式

【例3.32】復(fù)數(shù)特征值對角陣與實數(shù)塊特征值對角陣的轉(zhuǎn)換
在命令窗口輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣B。
>> B=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
首先對矩陣B進行Schur分解，在命令窗口輸入：
>> [u,t]=schur (B) %對矩陣B進行Schur分解
然后將實舒爾形式轉(zhuǎn)化成復(fù)舒爾形式，在命令窗口輸入：
>> [U,T]=rsf2csf (u,t) %實舒爾形式轉(zhuǎn)化成復(fù)舒爾形式

3.2.8 廣義奇異值分解

MATLAB提供了gsvd函數(shù)對矩陣進行廣義奇異值分解，其具體調(diào)用格式為：

①[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
②[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)
③sigma = gsvd (A,B)

其中，函數(shù)調(diào)用格式①返回酉矩陣U和V、一個普通方陣X、非負對角矩陣C和S，滿足A = UCX'，B = VSX'，C'C + S'S = I (I為單位矩陣)。A和B的列數(shù)必須相同，行數(shù)可以不同。函數(shù)調(diào)用格式②和①基本相同，而③則返回廣義奇異值sigma值。

【例3.33】廣義奇異值分解
在命令窗口輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣AO和d。
>> AO=[1 2 3 4 5 6 7 8;2 3 4 5 6 7 8 9;3 4 5 6 7 8 9 0]';
>> d=magic(3); %生成3階的魔方陣
對矩陣AO進行廣義奇異值分解，在命令窗口輸入：
>> [U,V,X,C,S] = gsvd(AO,d) %對矩陣AO進行廣義奇異值分解

3.2.9 特征值問題的QZ分解

MATLAB提供了qz函數(shù)對矩陣進行特征值問題的QZ分解，該函數(shù)的調(diào)用格式為：

①[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B)
②[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B,flag)

其中函數(shù)調(diào)用格式①中A、B為方陣，返回結(jié)果AA和BB為上三角陣，Q、Z為正交矩陣或其列變換形式，V為特征向量陣，且滿足QAZ= AA 和QBZ = BB。命令行②產(chǎn)生由flag決定的分解結(jié)果，flag取值為'complex'表示復(fù)數(shù)分解（默認）；取值為'real'表示實數(shù)分解。

【例3.34】特征值問題的QZ分解
在命令窗口輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣A和B。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
>> B=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
對矩陣A、B進行特征值問題的QZ分解，在命令窗口輸入：
>> [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B) %對矩陣A、B進行特征值問題的QZ分解

3.2.10 海森伯格形式的分解

如果矩陣H的第一子對角線下元素都是0，則H為海森伯格(Hessenberg)矩陣。如果矩陣是對稱矩陣，則它的海森伯格形式是對角三角陣。MATLAB可以通過相似變換將矩陣變換成這種形式，具體調(diào)用格式為：

①H = hess(A) 返回矩陣A的海森伯格形式
②[P,H] = hess(A) P為酉矩陣，滿足：A = PHP' 且P'P = eye(size(A))
【例3.35】海森伯格形式的分解
在命令窗口輸入以下內(nèi)容，創(chuàng)建矩陣A。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;]
計算矩陣A的海森伯格形式，可在命令窗口輸入：
>> [P,H]=hess(A) %返回矩陣A的海森伯格形式

作者：德特數(shù)據(jù)
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