統(tǒng)計，以信仰之名：(二)統(tǒng)計學(xué)——科學(xué)的邏輯

E.T.Jaynes所著的《概率論沉思錄》自出版以來廣受好評。然而這本厚達700余頁的書所講述的確并非概率論，而是統(tǒng)計。它的英文名字實際是”Probability Theory, The Logic of Science”，翻譯過來就是“概率論——科學(xué)的邏輯”。嚴(yán)格來講，統(tǒng)計的是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，很多東西我們無法根據(jù)公理推出，但是它符合我們的常識，就像物理基本定律一樣。從某種角度講，統(tǒng)計更類似于一種信仰。下面我們看看這種“信仰”是如何產(chǎn)生的。

假設(shè)我約你賭錢，規(guī)則是投均勻硬幣，正面你贏100塊錢，反面我贏100塊錢。投了100次，100次全是反面，那么此時你已經(jīng)傾家蕩產(chǎn)了。比起接下來幾年泡面度日，你更可能質(zhì)疑我是否在“出老千”。這時要做的就是假設(shè)檢驗：再投100次，如果還是全是反面，那么就說明我在“出老千”。然而，均勻硬幣出現(xiàn)這種情況可不可能呢？是可能的，只不過概率很小。你可能就是個喝水都塞牙的倒霉蛋。但是在現(xiàn)實中，我們所能想出的最好的方法也不過如此了。所以古典統(tǒng)計的邏輯簡單來說就是“相信自己不是一個倒霉蛋”。

曾經(jīng)哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)上有這樣一個問題，大意如下：

已知隨機變量Xi, i=1,2,...,10服從形式為N(μ,10)的正態(tài)分布，要對是否有μ=0進行假設(shè)檢驗。

通常的步驟是，我們算出Xi均值X，它服從N(μ,1)。該均值只有5%的概率落在[-2,2]外。所以，如果這個均值落在了[-2,2]，那么我們接受μ=0，如果它落在[-2,2]外面，我們堅信自己不會這么倒霉，所以我們認為μ≠0。

那個問題是，均值落在[-0.01,0.01]之內(nèi)的概率也很小，為什么不選則落在[-0.01,0.01]時拒絕μ=0呢？其實他這么說在邏輯上沒有錯誤，然而并沒有什么卵用，因為我們不關(guān)心它是否在[-0.01,0.01]。假如我們還是在賭博，當(dāng)然我們希望進行的是一場公平的賭博。我們?nèi)右粋€同分布的Χ0出來，然后我付給你Χ0萬元。如果均值是[-0.01,0.01]并沒有什么問題，但是如果均值落在[-2,2]外，我們就得好好談?wù)劻恕?/p>

這里注明一下，選什么區(qū)間也不是絕對的，要根據(jù)問題而定。有時候還就得選[-0.01,0.01]作為拒絕域。

總結(jié)：與概率論不同，統(tǒng)計強烈依賴于你相信什么 與 關(guān)心什么。從這一點上講，統(tǒng)計與信仰沒什么不同。