拉格朗日，全名是約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，舉世聞名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，曾獲得18世紀(jì)“歐洲最大之希望”、“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”的贊譽(yù)，由此可見他的歷史地位，而在以后的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)十分頻繁地見到這個(gè)人物。雖然我們可能以后才會(huì)學(xué)到和他有關(guān)的知識(shí)和定理，但是在高考中，我們?nèi)匀豢梢詮闹蝎@得對(duì)我們有幫助的方法。今天，我們就來介紹一下：如何用拉格朗日乘數(shù)法解決高考?jí)狠S小題。

在數(shù)學(xué)最優(yōu)問題中，拉格朗日乘數(shù)法是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。拉格朗日乘數(shù)法本來是高數(shù)中的知識(shí)，但是對(duì)于高考的某一類壓軸小題，如果我們能學(xué)會(huì)這個(gè)方法，對(duì)于問題的求解就可能更為簡單，在考場上節(jié)省我們寶貴的時(shí)間。所以在此進(jìn)行簡單的介紹，希望能夠?qū)Υ蠹矣兴鶐椭?/p>

首先來看一道模擬題：

在我給出高中做法之前大家可以自己嘗試做一做

解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足x2-4xy+4y2+4x2y2=4，

變形為：（x+2y）2+（2xy-2）2=8，

令x+2y=2√2sinθ，2xy-2=2√2cosθ，θ∈[0，2π）．

則當(dāng)x+2y取得最大值時(shí)，θ=π/2，

則x+2y=2√2，2xy-2=0，

解得x=√2，y=1/√2．x/y=2．

故答案為：2．

對(duì)于很多學(xué)生，看到這類題，我們好像有點(diǎn)思路，但是仿佛又無從下手，最后帶著些許的遺憾放棄這道題，或者根本不知道這道題是什么類型的，沒有方法。那么對(duì)于這類棘手的問題我們?nèi)绾谓鉀Q呢？

顯然，答案就是拉格朗日乘數(shù)法。

首先聲明對(duì)于這種做法，最好在小題上使用，加快我們的做題速度，對(duì)于大題，我們最好不用這個(gè)做法，實(shí)在想不到其他做法再進(jìn)行使用。如果看完文章之后，你覺得這個(gè)方法太難了或者沒有什么幫助，也可以不用理會(huì)。

在教你如何做題之前，希望你能對(duì)拉格朗日乘數(shù)法的做法有個(gè)整體的感受，首先給出拉格朗日乘數(shù)法的一般做法：

設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y），在約束條件

下取得極值，且

為其極值點(diǎn)，為了尋找這個(gè)附加條件上的極值點(diǎn)。令：

通過這三個(gè)方程組，我們可以解出

則其中的點(diǎn)

可能為其極值點(diǎn)，對(duì)于高中來說，大部分題求出來的這個(gè)點(diǎn)就是極值點(diǎn)。好了，整體上了解了過程后，你可能對(duì)偏導(dǎo)數(shù)什么的不太了解，接下來我一點(diǎn)點(diǎn)教你如何利用這個(gè)東西解決高考的題目。再來看之前的那道題

顯然x+2y是題目中的目標(biāo)，將x+2y設(shè)為我們的目標(biāo)函數(shù)z，當(dāng)x+2y取到最大值的時(shí)候，就是z取到了最大值。而

就是這個(gè)函數(shù)的約束條件，很容易理解，如果沒有這個(gè)條件，我們就可以在xoy平面任意取點(diǎn)，而有了這個(gè)約束條件，我們就只能在滿足這個(gè)條件的x，y中進(jìn)行取值。令

和一元函數(shù)類似，我們可以把這個(gè)里邊有兩個(gè)變量的叫做二元函數(shù)，這樣可以設(shè)出

現(xiàn)在我們做好了第一步，接著又來了另一個(gè)問題，偏導(dǎo)數(shù)是什么，在高中的時(shí)候，我們都學(xué)過導(dǎo)數(shù)的定義，也都知道了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，在此我就不再贅述了。一元函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在該點(diǎn)的變化率，它反映了在該點(diǎn)處函數(shù)值隨自變量值變化的快慢程度，對(duì)于二元函數(shù)，當(dāng)然也需要研究它的變化率問題。

比如山的高度z是關(guān)于位置x，y的二元函數(shù)z=f（x，y），這時(shí)候地面上每一個(gè)x，y都對(duì)應(yīng)著一個(gè)值z，把這個(gè)值都畫出來，我們可以連成一個(gè)曲面。那么我們?nèi)绾窝芯可降母叨鹊淖兓蕟栴}呢？

當(dāng)我們把y固定下來時(shí)，比如說y=1，這時(shí)函數(shù)就變成了一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，這樣我們就能求出這時(shí)z對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)。這種把y固定在某個(gè)地方，然后計(jì)算函數(shù)在x方向上的導(dǎo)數(shù)，我們把它叫為z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。同樣我們可以把x固定在某個(gè)地方，計(jì)算函數(shù)在y方向上的導(dǎo)數(shù)，稱為z對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)。以爬山為例，知道了偏導(dǎo)數(shù)，也就是知道了在x，y方向上的變化，顯然在爬山時(shí)，只要知道了我們朝前和朝左走了多少，我們就能知道我們向上爬了多高的山，就能知道z的高度變化率問題。當(dāng)我們在研究x的方向的變化時(shí)，我們只需要把y固定下來，把y當(dāng)作一個(gè)常數(shù)，求出F（x,y,λ）對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)，同理我們可以求出F（x,y,λ）對(duì)于y的偏導(dǎo)數(shù)。

解這個(gè)方程組，我們可以得到x=2y

因此，值是2，雖然我們解出了方程，但是我們沒有辦法確定這個(gè)點(diǎn)就是極值點(diǎn)，而對(duì)于填空題，這個(gè)值一般就是答案。

現(xiàn)在我們可以總結(jié)一下做這類題目的一般方法了:

第一步：確定出我們要求的目標(biāo)函數(shù)，明確附加條件

第二步：構(gòu)建出一個(gè)新函數(shù)

第三步：把其他變量固定，對(duì)于x求導(dǎo)。重復(fù)這個(gè)步驟，直到對(duì)于函數(shù)的所有自變量都求了導(dǎo)數(shù)。

第四步：求解這個(gè)方程組

第五步，求出來的點(diǎn)一般就是極值點(diǎn)，在進(jìn)行對(duì)題目的求解。

現(xiàn)在，我再給出一道習(xí)題，學(xué)會(huì)這個(gè)方法之后你可以嘗試做一下

習(xí)題：欲生產(chǎn)容積為常數(shù)V的無蓋長方體盒子，問如何設(shè)計(jì)才能使盒子的表面積最??？

好了，對(duì)于這個(gè)類型的題，我們只需要這五步，就能做出來。再次重申一遍：對(duì)于這種做法，最好在小題上使用，加快我們的做題速度，對(duì)于大題，我們最好不用這個(gè)做法，實(shí)在想不到其他做法再進(jìn)行使用。如果看完文章之后，你覺得這個(gè)方法太難了或者沒有什么幫助，也可以不用理會(huì)。

而為什么可以這樣做，等到大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)我們就會(huì)有更加深入的理解。目前我們只需要知道這種方法，利用這種方法做題，節(jié)省我們的時(shí)間?；蛘邔?duì)于我們做出來的答案進(jìn)行檢驗(yàn)。