??艾賓浩斯記憶曲線是德國心理學(xué)家艾賓浩斯提出來的人腦遺忘規(guī)律。利用這一研究成果，人們提出了艾賓浩斯記憶法，也就是定期復(fù)習(xí)之前學(xué)過的知識(shí)。我們以單詞為例，比方說每天新學(xué)一個(gè)單詞，然后后邊按照艾賓浩斯記憶法在固定的時(shí)間復(fù)習(xí)這一個(gè)單詞。那么問題來了，如果我們采用艾賓浩斯記憶法，隨著之前學(xué)習(xí)的單詞越來越多，無窮天以后會(huì)不會(huì)每天要學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的單詞無窮多，以至于無法操作呢？
??這個(gè)問題我沒有想出非常嚴(yán)格的解法，但是有一個(gè)近似給出解的思路。
??為了方便解這個(gè)問題，我們提出一個(gè)概念：第i個(gè)單詞在第n天被學(xué)到的概率)
，理所當(dāng)然的,
。這個(gè)
(n)定義為
，這個(gè)意思是如果一個(gè)單詞在過了n天的時(shí)候被復(fù)習(xí)過
次，那么我們認(rèn)為這個(gè)單詞被學(xué)到的概率為，可以看出這是一種近似。
??第n天的時(shí)候，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了n個(gè)單詞。那么第n天需要學(xué)習(xí)的單詞量是之前所有的)
的和，即)
。我們立即看出來這其實(shí)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)問題。如果與n的關(guān)系是調(diào)諧級(jí)數(shù)關(guān)系的話，即%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
，那么級(jí)數(shù)就不收斂，無窮天以后我們就需要學(xué)習(xí)無窮多個(gè)單詞。如果這個(gè)級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)的話，比如說%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D)
，那么級(jí)數(shù)就收斂。調(diào)諧級(jí)數(shù)關(guān)系意味著
，也就是
。
??這里我們立即發(fā)現(xiàn)我們之前的假設(shè)存在一個(gè)問題。如果我們假設(shè)%3D%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bn%7D)
，那么因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a_n%3E1" alt="a_n>1" mathimg="1">，我們總是會(huì)得出%3E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
,因此級(jí)數(shù)總是不能收斂的，這與我們的直覺不符。于是我們懷疑的定義方式可能有點(diǎn)問題。
??經(jīng)過修正的定義方法如下：因?yàn)槲覀円阎S著時(shí)間的推移，復(fù)習(xí)的頻率會(huì)越來越低，所以會(huì)越來越小。所以我們采用這樣一種定義方式是非常適合的：“等于前一次復(fù)習(xí)與前前一次復(fù)習(xí)的時(shí)間分之一?！边@個(gè)理由解釋如下，在前前一次復(fù)習(xí)完成之后到前一次復(fù)習(xí)的
天之內(nèi)，進(jìn)行了一次復(fù)習(xí)，因此我們?cè)谶@段時(shí)間的復(fù)習(xí)概率等于
。
??接下來我們考慮兩種典型的情況。一種是在
也就是
天時(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)。那么鑒于我們的定義方式，我們總是有
天的時(shí)間里復(fù)習(xí)的概率是
。這些天的所有概率相加我們得到無窮大。
……………………
??好吧經(jīng)過一番深思熟慮，這個(gè)問題沒那么復(fù)雜，
我們不妨構(gòu)建一個(gè)一維向量![[(1,1,0,1,0,0,0,1,\dots)]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B(1%2C1%2C0%2C1%2C0%2C0%2C0%2C1%2C%5Cdots)%5D)
,其中1表示當(dāng)天需要復(fù)習(xí)，0表示不需要復(fù)習(xí)。接著我們構(gòu)建矩陣
![\left[ \begin{matrix} &1,&1,&0,&1,&0,&0,&0,&1,&\cdots \\ &&1,&1,&0,&1,&0,&0,&0,&\cdots\\ &&&1,&1,&0,&1,&0,&0,&\cdots\\ &&&&1,&1,&0,&1,&0,&\cdots\\ &&&&&1,&1,&0,&1,&\cdots\\ &&&&&&1,&1,&0,&\cdots\\ &&&&&&&1,&1,&\cdots\\ &&&&&&&&1,&\cdots\\ \end{matrix} \right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%261%2C%261%2C%260%2C%261%2C%260%2C%260%2C%260%2C%261%2C%26%5Ccdots%20%5C%5C%20%26%261%2C%261%2C%260%2C%261%2C%260%2C%260%2C%260%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%26%26%261%2C%261%2C%260%2C%261%2C%260%2C%260%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%26%26%26%261%2C%261%2C%260%2C%261%2C%260%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%26%26%26%26%261%2C%261%2C%260%2C%261%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%26%26%26%26%26%261%2C%261%2C%260%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%26%26%26%26%26%26%261%2C%261%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%26%26%26%26%26%26%26%261%2C%26%5Ccdots%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D)
容易證明，想得到第n天需要復(fù)習(xí)的單詞數(shù)量，就等于要得到第n列的求和。而第n列的求和其實(shí)也就是第一行第1個(gè)元素到第n個(gè)元素的求和。由于我們規(guī)定當(dāng)
時(shí)，
，所以顯然，第
列的和為無窮大，也即無窮天之后需要復(fù)習(xí)無窮多個(gè)單詞。
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