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文章來自我的CSDN同名博客，歡迎文末掃碼關(guān)注~

定義

基于上一篇文章的通俗化例子，我們從基本概念上了解了卷積，那么更嚴(yán)格的定義是怎樣的呢？

從數(shù)學(xué)上講，卷積只不過是一種運(yùn)算，對(duì)于很多沒有學(xué)過信號(hào)處理，自動(dòng)控制的同學(xué)來說各種專業(yè)的名詞可以不做了解，我們接著繼續(xù)。本質(zhì)上卷積是將二元函數(shù)卷成一元函數(shù)?，俗稱降維打擊。

1. 怎么卷？

考慮到函數(shù)?f和g應(yīng)該地位平等，或者說變量x和y應(yīng)該地位平等，一種可取的辦法就是沿直線

卷起來

2. 卷了有什么用？

可以用來做多位數(shù)乘法，比如：

注意第二個(gè)等號(hào)右邊每個(gè)括號(hào)里的系數(shù)構(gòu)成的序列 (14,34,14,4)，實(shí)際上就是序列 (2,4) 和 (7,3,1) 的卷積。在乘數(shù)不大時(shí)這么干顯得有點(diǎn)蛋疼，不過要計(jì)算很長很長的兩個(gè)數(shù)乘積的話，這種處理方法就能派上用場(chǎng)了，因?yàn)槟憧梢杂每焖俑盗⑷~變換 FFT 來得到卷積，比示例里的硬乘要快多了

有一個(gè)不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦斫猓?/p>

X是“基”，a是在這個(gè)基上的展開系數(shù)。兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的在基上展開的系數(shù)就是兩個(gè)多項(xiàng)式各自在基上展開系數(shù)的卷積。

a對(duì)應(yīng)著頻率不同的exp(ikt)，系數(shù)對(duì)應(yīng)著其傅里葉變換。自然就是乘積的傅里葉變換等于傅里葉變換的卷積了。

卷積的內(nèi)核（涉及推導(dǎo)過程，可以跳過）

首先我們要理解這樣一個(gè)概念：內(nèi)積、積分、投影這三者其實(shí)從某個(gè)角度上講是一個(gè)意思。

定義一組向量

另一組向量

那么內(nèi)積可以表達(dá)為：

瞧，這即是內(nèi)積，也是累加（積分）。投影的概念則可以理解為向量a在基向量b上的一組投影，坐標(biāo)為

這和一個(gè)點(diǎn)在3D歐幾里得空間的三軸投影坐標(biāo)是一個(gè)道理。

這樣，我們可以順便先來看看Fourier變換在做什么：

再引入一個(gè)完美的式子，歐拉公式：

從Fourier的定義式可以看出是對(duì)f(t)和exp(-jwt)相乘后在無窮域上對(duì)其進(jìn)行積分，那么其實(shí)就是將f(t)投影在exp(-jwt)上，如果不理解是什么鬼就變換為兩個(gè)正交的三角函數(shù)（歐拉公式就在這里起作用~）

所以這就明朗了：Fourier把f(t)投影到了兩個(gè)為正交關(guān)系的正弦和余弦空間中。也可以從周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)分解表達(dá)式更容易看出這個(gè)投影關(guān)系。

這個(gè)投影有點(diǎn)奇怪，它在投影之前先把g(T)做了一個(gè)反對(duì)稱，然后再投影。對(duì)應(yīng)到前面推導(dǎo)的系統(tǒng)卷積表達(dá)式：

相當(dāng)于在投影之前，先把輸入信號(hào)r(t)在時(shí)間軸上翻轉(zhuǎn)了180°，然后與系統(tǒng)f(t)進(jìn)行投影。投影的概念我們可以很好理解，無論是向量內(nèi)積運(yùn)算相當(dāng)于線投影，或者空間的一個(gè)多面體在三維空間平面上的投影面，這種投影運(yùn)算就相當(dāng)于一種重合面積。

如果從這個(gè)角度去看輸入、系統(tǒng)和輸出三者之間的關(guān)系，那么就可以從圖形角度去理解為什么一個(gè)一階系統(tǒng)在階躍響應(yīng)輸出下是一條單調(diào)上升的曲線了。這里用一張wikipedia里關(guān)于卷積的一張圖形化解釋，想要了解更多的同學(xué)可以自行查閱相關(guān)教材

（感謝知乎學(xué)霸王尼莫的幫助）

卷積的應(yīng)用

用一個(gè)模板和一幅圖像進(jìn)行卷積，對(duì)于圖像上的一個(gè)點(diǎn)，讓模板的原點(diǎn)和該點(diǎn)重合，然后模板上的點(diǎn)和圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)相乘，然后各點(diǎn)的積相加，就得到該點(diǎn)的卷積值。對(duì)圖像上的每個(gè)點(diǎn)都這樣處理。

由于多數(shù)模板都對(duì)稱，所以模板不旋轉(zhuǎn)。卷積是一種積分運(yùn)算，用來求兩個(gè)曲線重疊區(qū)域面積?？梢钥醋骷訖?quán)求和，可以用來消除噪聲、特征增強(qiáng)。把一個(gè)點(diǎn)的像素值用它周圍的點(diǎn)的像素值的加權(quán)平均代替。

卷積也可以理解為一種線性運(yùn)算，圖像處理中常見的mask運(yùn)算都是卷積，廣泛應(yīng)用于圖像濾波。?卷積關(guān)系最重要的一種情況，就是在信號(hào)與線性系統(tǒng)或數(shù)字信號(hào)處理中的卷積定理。

利用該定理，可以將時(shí)間域或空間域中的卷積運(yùn)算等價(jià)為頻率域的相乘運(yùn)算，從而利用FFT等快速算法，實(shí)現(xiàn)有效的計(jì)算，節(jié)省運(yùn)算代價(jià)。

下面是來自sselssbh博客的一個(gè)例子，非常形象的解釋了卷積在圖像領(lǐng)域的作用

有這么一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點(diǎn)：?

高頻信號(hào)，就好像平地聳立的山峰：?

看起來很顯眼。平滑這座山峰的辦法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周圍去。用數(shù)學(xué)的話來說，就是把山峰周圍的高度平滑以下得到

卷積可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)平滑算法。有噪點(diǎn)的原圖，可以把它轉(zhuǎn)為一個(gè)矩陣：?

然后用下面這個(gè)平均矩陣（說明下，原圖的處理實(shí)際上用的是正態(tài)分布矩陣，這里為了簡單，就用了算術(shù)平均矩陣）來平滑圖像：

記得剛才說過的算法，把高頻信號(hào)與周圍的數(shù)值平均一下就可以平滑山峰。比如我要平滑a1,1?點(diǎn)，就在矩陣中，取出a1,1點(diǎn)附近的點(diǎn)組成矩陣 f ,和 g 進(jìn)行卷積計(jì)算后，再填回去?

要注意一點(diǎn)，為了運(yùn)用卷積， g雖然和f同維度，但下標(biāo)有點(diǎn)不一樣：?

寫成卷積公式就是：

這樣相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)了 g 這個(gè)矩陣在原來圖像上的劃動(dòng)（準(zhǔn)確來說，下面這個(gè)二維卷積的例子把 g 矩陣旋轉(zhuǎn)了180°?）

2維卷積

在圖像識(shí)別中，2 維卷積是一個(gè)最常用，也是相當(dāng)簡單的操作：從卷積核開始，這是一個(gè)小的權(quán)值矩陣。這個(gè)卷積核在 2 維輸入數(shù)據(jù)上「滑動(dòng)」，對(duì)當(dāng)前輸入的部分元素進(jìn)行矩陣乘法，然后將結(jié)果匯為單個(gè)輸出像素。

立體的角度來看，二維層面的卷積就是移動(dòng)和映射（自上而下）