SVD 原理

奇異值分解（Singular Value Decomposition）是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，也是在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的算法，它不光可以用于降維算法中的特征分解，還可以用于推薦系統(tǒng)，以及自然語言處理等領(lǐng)域。

有一個(gè)??×??的實(shí)數(shù)矩陣??，我們想要把它分解成如下的形式：

[圖片上傳失敗...(image-a21214-1650075145167)]

其中??和??均為單位正交陣，即有和，??稱為左奇異矩陣，??稱為右奇異矩陣，Σ僅在主對(duì)角線上有值，我們稱它為奇異值，其它元素均為0。

上面矩陣的維度分別為,,。

[圖片上傳失敗...(image-7f20f7-1650075145167)]

一般地Σ有如下形式

越大意味著對(duì)應(yīng)的 的特征值 越大, 從而其主成分 (principal component) 的樣本方差越大, 我們把方差大視為提供了更多信息.

求解U, Σ, V

假設(shè)我們的矩陣A是一個(gè)m×n的矩陣，則是方陣，求其特征值及特征向量：

得到矩陣的n個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的n個(gè)特征向量

因
=

將特征向量張成一個(gè)的矩陣，就是SVD公式里面的矩陣,中的每個(gè)特征向量叫做的右奇異向量。

同理：，可得矩陣。

求得，然后求Σ，因Σ為奇異值矩陣，所以只需要求出每個(gè)奇異值即可。

其實(shí)特征值矩陣等于奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關(guān)系：

所以不用也可以通過求出的特征值取平方根來求奇異值。

SVD算法

輸入：樣本數(shù)據(jù)
輸出：左奇異矩陣，奇異值矩陣，右奇異矩陣

1 計(jì)算特征值： 特征值分解，其中為原始樣本數(shù)據(jù)

得到左奇異矩陣和奇異值矩陣

2 間接求部分右奇異矩陣： 求

利用A=UΣ′V′可得

3 返回U, Σ′, V′，分別為左奇異矩陣，奇異值矩陣，右奇異矩陣。

Python 求解SVD

from numpy import array
from numpy import diag
from numpy import zeros
from scipy.linalg import svd
# define a matrix
A = array([
    [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],
    [11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],
    [21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]])
print(A)

>>> A
array([[ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10],
       [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20],
       [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]])

# Singular-value decomposition
U, s, VT = svd(A)
# create m x n Sigma matrix
Sigma = zeros((A.shape[0], A.shape[1]))
# populate Sigma with n x n diagonal matrix
Sigma[:A.shape[0], :A.shape[0]] = diag(s)
# select
n_elements = 2
Sigma = Sigma[:, :n_elements]
VT = VT[:n_elements, :]
# reconstruct
B = U.dot(Sigma.dot(VT))
print(B)

>>> B
array([[ 1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.,  8.,  9., 10.],
       [11., 12., 13., 14., 15., 16., 17., 18., 19., 20.],
       [21., 22., 23., 24., 25., 26., 27., 28., 29., 30.]])

# transform
T = U.dot(Sigma)
print(T)

>>> T
array([[-18.52157747,   6.47697214],
       [-49.81310011,   1.91182038],
       [-81.10462276,  -2.65333138]])

T = A.dot(VT.T)
print(T)

[[-18.52157747   6.47697214]
 [-49.81310011   1.91182038]
 [-81.10462276  -2.65333138]]

參考：
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html
https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html