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1?插值

定義?設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上的 $n+1$ 個(gè)點(diǎn)， $a\leq x_0,x_1,...,x_n\leq b$ 上的函數(shù)值為 $y_0,y_1,...,y_n$ ，若粗在函數(shù) $P(x)$ ，使 $P(x_i)=y_i,i=0,1,...n$ 成立，則稱函數(shù) $P(x)$ 為 $f(x)$ 的 插值函數(shù)， $f(x)$ 稱為被插值函數(shù)，點(diǎn) $x_0,x_1,...,x_n$ 稱為 插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間 $[a,b]$ 稱為 插值區(qū)間

在這里我們進(jìn)討論 多項(xiàng)式插值 與 分段插值

多項(xiàng)式插值

插值多項(xiàng)式是否存在，若存在是否唯一
怎么推導(dǎo)插值多項(xiàng)式
如何估計(jì)其逼近程度
如何應(yīng)用

定理1?在 $n+1$ 個(gè)相異插值節(jié)點(diǎn) $x_0,x_1,...,x_n$ 處取給定值 $y_0,y_1,...,y_n$ 的次數(shù)不高于 $n$ 的插值多項(xiàng)式存在且唯一（可以通過(guò)非齊次線性方程組的范德蒙德行列式證明）

2?拉格朗日插值

2.1?拉格朗日插值多項(xiàng)式

線性插值
過(guò)曲線 $y=f(x)$ 上兩點(diǎn) $M_0(x_0,y_0),M_1(x_1,y_1)$ 做直線 $L_1(x)$ ，由兩點(diǎn)式： $L_1(x)=y_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+y_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 顯然 $L_1(x)$ 為插值多項(xiàng)式
拋物線插值
過(guò)曲線 $y=f(x)$ 上三點(diǎn) $M_0(x_0,y_0),M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$ 做拋物線 $L_2(x)$ ，同樣不難得到： $L_2(x)=y_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$ 顯然 $L_2(x)$ 也為插值多項(xiàng)式

用類似的推導(dǎo)方式可以證明， $n+1$ 個(gè)節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式應(yīng)定義為如下形式。
定義? $y=f(x)$ 在插值節(jié)點(diǎn) $x_0,x_1,...,x_n$ 上的 拉格朗日插值多項(xiàng)式 $L_n(x)$ 為 $L_n(x)=y_0l_0(x)+y_1l_1(x)+...+y_nl_n(x)=\sum\limits_{i=0}^ny_il_i(x)$ 其中 $l_i(x)=\frac{x-x_0}{x_i-x_0}\frac{x-x_1}{x_i-x_1}...\frac{x-x_n}{x_i-x_n},i=0,1,...n$ $l_i(x)$ 稱為 插值基函數(shù)

2.2?插值余項(xiàng)

若在 $[a,b]$ 上使用 $L_n(x)$ 近似 $f(x)$ ，則其截?cái)嗾`差為 $R_n(x)=f(x)-L_n(x)$ ，也稱為 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。關(guān)于插值余項(xiàng)估計(jì)有如下定理

定理2?設(shè) $f^{(n)}(x)$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上連續(xù)， $f^{(n+1)}(x)$ 在區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)存在， $L_n(x)$ 是以 $a\le x_0<x_1<...<x_n\le b$ 為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何 $x\in [a,b]$ $R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$ $\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$
這里 $\xi\in(a,b)$ 且依賴于 $x$

2.3?算法步驟

(1) 輸入 $x,x_i,y_i,(i=0,1,...,n)$
(2) 對(duì) $i=0,1,...,n$ 計(jì)算 $l_i=\prod\limits_{j=o,j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
(3) 計(jì)算 $L=\sum\limits_{i=0}^ny_il_i$
(4) 輸出 $L \approx f(x)$ ，結(jié)束

2.4?注意事項(xiàng)

$L_n(x)$ 為次數(shù)不高于 $n$ 次的多項(xiàng)式，其次數(shù)可能小于 $n$
若 $f(x)$ 是次數(shù)不超過(guò) $n$ 次的多項(xiàng)式，那么以 $n+1$ 個(gè)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式就一定是其本身。特別是當(dāng)取 $f(x)\equiv 1$ 時(shí)，得恒等式 $\sum\limits_{i=0}^nl_i(x)\equiv 1$ 這一等式為我們提供了驗(yàn)證插值基函數(shù)的一種方法
$R_n(x)$ 用于誤差估計(jì)。若 $|f^{(n+1)}(x)|\le M$ ，則 $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|\omega_{n+1}(x)|$
$L_n(x)$ 只與節(jié)點(diǎn)及函數(shù) $f(x)$ 在節(jié)點(diǎn)處的值有關(guān)，與 $f(x)$ 無(wú)關(guān)；而 $R_n(x)$ 與 $f(x)$ 關(guān)系最為密切。

3?差商與牛頓插值

3.1?差商

定義?設(shè)已給插值節(jié)點(diǎn) $x_0,x_1,...,x_n$ 以及相應(yīng)的函數(shù)值 $f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)$ 稱 $f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ 為函數(shù) $y=f(x)$ 關(guān)于點(diǎn) $x_0,x_1$ 的一階差商，稱 $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$ 為函數(shù) $y=f(x)$ 關(guān)于點(diǎn) $x_0,x_1,x_2$ 的二階差商，稱 $f[x_0,x_1,...,x_k]=\frac{f[x_1,x_2,...,x_k]-f[x_0,x_1,...,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$ 為函數(shù) $y=f(x)$ 關(guān)于點(diǎn) $x_0,x_1,x_2$ 的 $k$ 階差商

3.2?差商的性質(zhì)

線性性
$k$ 階差商 $f[x_0,x_1,...,x_k]$ 是函數(shù)值 $f(x_0,f(x_1),...,f(x_k)$ 的線性組合，即 $f[x_0,x_1,...,x_k]=\sum\limits_{i=0}^k{\frac{f(x_i)}{\omega'_{k+1}(x_i)}}$ 其中 $\omega_{k+1}(x)=\prod\limits_{i=0}^k(x-x_i)$
對(duì)稱性
差商 $f[x_0,x_1,...,x_k]$ 是 $x_0,x_1,...,x_k$ 的對(duì)稱函數(shù)。
差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上存在 $n$ 階導(dǎo)數(shù)，且 $x_0,x_1,...,x_k\in [a,b]$ ，則存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f[x_0,x_1,...,x_k]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$

3.3?牛頓插值多項(xiàng)式

由差商的定義可導(dǎo)出 $f(x)=N_n(x)+R_n(x)$ 其中 $\begin{align} N_n(x)=&f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2]+...\\ &+(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f[x_0,x_1,...,x_n]\\ \end{align}$ 稱為牛頓插值多項(xiàng)式 $R_n(x)=f[x,x_0,x_1,...,x_n]\omega_{n+1}(x)$ 稱為牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)

3.4?算法步驟

(1) 輸入 $x,x_i,y_i(i=0,1,...,n)$
(2) 對(duì) $i=0,1,...,n$ 計(jì)算 $f_i=y_i$
(3)對(duì) $i=1,2,...,n$ 計(jì)算 $f_k=\frac{f_{k-1}-f_k}{x_{k-1}-x_k}(k=n,n-1,...,i)$
(3) 計(jì)算 $p=f_0+\sum\limits_{k=0}^n{f_k(\prod\limits_{j=0}^{k-1}(x-x_j))}$
(4) 輸出 $p \approx f(x)$ ，結(jié)束

4?Hermite插值

4.1?Hermite插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)

Hermite插值多項(xiàng)式: $H_{2n+1}(x)=\sum\limits_{j=0}^n[y_j\alpha_j(x)+y_j'\beta_j(x)]$ 其中 $\alpha_j(x)=\left[1-2(x-x_j)\sum\limits_{k=0,k\neq j}^n\frac{1}{x_j-x_k}\right]l^2_j(x)$ $\beta_j(x)=(x-x_j)l_j^2(x)$ 余項(xiàng): $R_{2n+1}(x)=\frac{f^{(2n+2)}}{2n+2}\omega^2_{n+1}(x)$ 其中 $\omega_{n+1}(x)=\prod\limits_{i=0}^n(x-x_i),\xi\in [a,b]$

4.2?兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式

已知 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的節(jié)點(diǎn) $x_0,x_1$ 上的函數(shù)值 $y_0,y_1$ 及一階導(dǎo)數(shù)值 $y_0',y_1'$ ，則三次Hermite插值多項(xiàng)式 $\begin{align} H_3(x)=&y_0\alpha_0(x)+y_1\alpha_1(x)+y_0'\beta_0(x)+y_1'\beta_1(x)\\ =&y_0\left(1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2+y_1\left(1-2\frac{x-x_1}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2\\ &+y_0'(x-x_0)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2+y_1'(x-x_1)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2\\ \end{align}$ 余項(xiàng) $R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)^2(x-x_i)^2,\xi\in[a,b]$

5?分段低次插值

5.1?龍格現(xiàn)象

隨著插值多項(xiàng)式次數(shù)的增大，插值函數(shù) $L_n(x)$ 在兩端會(huì)發(fā)生激烈的震蕩，這就是龍格現(xiàn)象

5.2?分段線性插值

對(duì)給定區(qū)間 $[a,b]$ 做分割： $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ ，在每個(gè)小區(qū)間 $[x_i,x_{i+1}]$ 上以 $x_i,x_{i+1}$ 為節(jié)點(diǎn)作 $f(x)$ 的線性插值： $S_i(x)=\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}f(x_i)+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}f(x_{i+1}),x\in[x_i,x_{i+1}]$ 把每個(gè)小區(qū)間上的線性插值函數(shù)連起來(lái)，就得到了分段線性插值函數(shù) $S(x)$
誤差公式為 $|f(x)-S(x)|\leq\frac{M_2}{8}(x_i-x_{i+1})^2,M_2=\max\limits_{a\leq x\leq b}|f''(x)|$

5.3?分段三次Hermite插值

對(duì)給定區(qū)間 $[a,b]$ 做分割： $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ ，在每個(gè)小區(qū)間 $[x_i,x_{i+1}]$ 上以 $x_i,x_{i+1}$ 為節(jié)點(diǎn)作分段三次Hermite插值： $\begin{align} S_i(x)=&f(x_i)\left(1-2\frac{x-x_i}{x_i-x_{i+1}}\right)\left(\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)^2\\ &+f(x_{i+1})\left(1-2\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)\left(\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_{i}}\right)^2\\ &+f'(x_i) (x-x_i)\left(\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)^2\\ &+f'(x_{i+1}) (x-x_{i+1})\left(\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_{i}}\right)^2\\ \end{align}$ 誤差公式為 $|f(x)-S(x)|\leq\frac{h^4}{384}\max\limits_{x_i\leq x \leq x_{i-1}}|f^{(4)}(x)|,h=\max\limits_{0\leq i \leq n-1}|x_{i+1}-x_i|$

5?最小二乘擬合

定義?確定 $a_k(k=0,1,...,m$ 使得 $R(a_0,a_1,...,a_m)=\sum\limits_{k=1}^n(\varphi(x_k)-y_k)^2$ 最小問(wèn)題稱為觀測(cè)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合問(wèn)題。若函數(shù)系 $\{b_k(x)\}$ 為冪函數(shù)系 $\{x^k\}$ ，此時(shí)的到的 $\varphi(x)$ 稱為回歸曲線

5.1?最小二乘法

由于 $R({{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{m}})\ge 0$ ，且為連續(xù)函數(shù)，故一定存在一組 ${{a}_{k}}(k=0,1,...,m)$ 使其達(dá)到極小值，這時(shí)我們只需要求出駐點(diǎn)即可。
因此我們假設(shè) $y=f(x)$ 的觀測(cè)數(shù)據(jù)為 $({{x}_{k}},{{y}_{k}})(k=1,2,...,n)$ ，對(duì)于 $\varphi(x)$ 為 $m$ 次回歸曲線，通過(guò)求解正規(guī)方程組可以求出 ${{a}_{k}}(k=0,1,...,m)$ 的值，可求得近似函數(shù) $f(x)$ 。 $\left( \begin{matrix} n & \sum\limits_{k=1}^n x_k & \sum\limits_{k=1}^n x^2_k & \cdots & \sum\limits_{k=1}^n x^m_k\\ \sum\limits_{k=1}^n x_k & \sum\limits_{k=1}^n x^2_k & \sum\limits_{k=1}^n x^3_k & \cdots & \sum\limits_{k=1}^n x^{m+1}_k\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum\limits_{k=1}^n x^m_k & \sum\limits_{k=1}^n x^{m+1}_k & \sum\limits_{k=1}^n x^{m+2}_k& \cdots & \sum\limits_{k=1}^n x^{2m}_k\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_m \\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} \sum\limits_{k=1}^n y_k \\ \sum\limits_{k=1}^n x_ky_k \\ \vdots \\ \sum\limits_{k=1}^n x_k^my_k \\ \end{matrix} \right)$

解題時(shí)，先寫出正規(guī)方程組所需數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)表，再求解即可得到參數(shù)

5.2?最小二乘法的病態(tài)現(xiàn)象

衡量一個(gè)線性方程組是否“病態(tài)”及其病態(tài)程度，可通過(guò)矩陣的條件數(shù)理論來(lái)完成。若線性方程組系數(shù)矩陣 $A$ 的條件數(shù) $Cond(A)\gg 1$ ，則該方程組“病態(tài)”，并且系數(shù)矩陣的條件數(shù)越大，方程組的“病態(tài)”程度就越嚴(yán)重，其解隨系數(shù)矩陣或自由項(xiàng)的變化（靈敏度）就越大。

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數(shù)值分析：插值與擬合