我先來(lái)看一個(gè)研究結(jié)果，現(xiàn)在研究認(rèn)為：人對(duì)數(shù)字的感知是天生的。不僅是人，其實(shí)動(dòng)物對(duì)數(shù)字的感知也是天生的。不過(guò)后期的獲得性數(shù)學(xué)能力對(duì)人類的社會(huì)性需求來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的。

兒童對(duì)于數(shù)字概念的研究

例如，在法語(yǔ)中，92表示為4個(gè)20和1個(gè)12，因?yàn)檫@種表述方式是根據(jù)人身上的部位來(lái)進(jìn)行表述的。如下圖：

大家肯定對(duì)自己孩子學(xué)習(xí)計(jì)算的時(shí)候印象最深刻的一點(diǎn)就是掰著自己的手指頭數(shù)數(shù)，這其實(shí)是一種天生的行為。

掰手指頭算數(shù)可能是人的天性

那數(shù)學(xué)思維究竟包括哪些內(nèi)容呢？一般來(lái)說(shuō)，他有六個(gè)方面，如下圖所示。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有六種：

數(shù)學(xué)抽象

邏輯推理

數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)運(yùn)算

直觀想象

數(shù)據(jù)分析

1. 數(shù)學(xué)抽象

那就先從數(shù)學(xué)抽象來(lái)說(shuō)吧。數(shù)學(xué)本身就是利用抽象性的思維來(lái)看待世界和宇宙。所以，將具體的事物進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)啟蒙的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)啟蒙的基礎(chǔ)之一。

什么是數(shù)學(xué)抽象呢？就是將具體的事物，比如說(shuō)一個(gè)氣球，一朵小花，一個(gè)小朋友抽象成一個(gè)數(shù)字1。這個(gè)過(guò)程抽象過(guò)程可以用C-A-S方法，所謂的C就是具體，S就是半抽象，A就是將具體的事物抽象轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮氖挛铩＿@種方法中間有一個(gè)半抽象的過(guò)程，如下圖所示。這種方法更有利于幫助孩子完成由具體到抽象的理解。

CSA方法介紹

C-S-A方法

所以這個(gè)思維說(shuō)的直白一點(diǎn)，就是讓孩子盡量理解所有具體的事物都可以用數(shù)字和數(shù)學(xué)來(lái)表示出來(lái)?？梢园褦?shù)學(xué)理解為一個(gè)第二外語(yǔ)，我們把具體的事物翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言。這個(gè)能力一般是四歲到五歲孩子才能真正的理解，也是需要長(zhǎng)期進(jìn)行循環(huán)漸進(jìn)的培養(yǎng)的過(guò)程。也是其他數(shù)學(xué)核心思維的基礎(chǔ)之一。

將具體的事物抽象化

再推薦一本書(shū)供參考吧：

用數(shù)字的眼光觀察世界萬(wàn)物，幫助孩子建立抽象數(shù)字與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系

2. 邏輯推理

第二個(gè)數(shù)學(xué)核心思維是邏輯推理。其實(shí)中國(guó)人普遍缺乏邏輯思維，而數(shù)學(xué)恰恰是培養(yǎng)邏輯思維最直接最有效的方法。這個(gè)過(guò)程可以將具體的事物抽象化，并且在這些抽象的事物內(nèi)部尋找相互聯(lián)系和客觀規(guī)律。這個(gè)能力也是智商測(cè)試的一個(gè)重要內(nèi)容，這個(gè)能力的高低直接反映了孩子智商高低。這過(guò)程本質(zhì)上是培養(yǎng)孩子尋找事物之間關(guān)系和規(guī)律的思維方式。

IQ測(cè)試

基于邏輯尋找規(guī)律

3. 數(shù)學(xué)建模

當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號(hào)，數(shù)學(xué)式子，程序，圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。

數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)建模一般經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：

模型準(zhǔn)備

了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來(lái)包容問(wèn)題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問(wèn)題的全過(guò)程，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。

模型假設(shè)

根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

模型建立

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）。

模型求解

利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（或近似計(jì)算）。

模型分析

對(duì)所要建立模型的思路進(jìn)行闡述，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。

模型檢驗(yàn)

將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。

模型應(yīng)用與推廣

應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異，而模型的推廣就是在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上對(duì)模型有一個(gè)更加全面的考慮，建立更符合現(xiàn)實(shí)情況的模型。

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象，簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并"解決"實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。

應(yīng)用題就是考察的數(shù)學(xué)建模的思維。舉個(gè)我們平時(shí)可以教孩子建立數(shù)學(xué)模型的例子：

家長(zhǎng):說(shuō)一說(shuō)第一幅圖,你看到了什么?

孩子:從圖中我看到了有5個(gè)小朋友在澆花

家長(zhǎng)：第二幅圖呢？

孩子：第二幅圖中有2個(gè)小朋友去提水了，剩下3個(gè)小朋友。

家長(zhǎng)：你能把兩幅圖的意思連起來(lái)說(shuō)嗎？

孩子：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩下3個(gè)。

家長(zhǎng)：觀察得很仔細(xì)，也說(shuō)得很好。你能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

孩子：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩幾個(gè)？

孩子：3個(gè)。

家長(zhǎng)：（結(jié)合情境圖和圓片說(shuō)明）5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩3個(gè)；從5個(gè)圓片中拿走2個(gè)，還剩3個(gè)，都可以用同一個(gè)算式（5-2=3）來(lái)表示。（寫(xiě)出來(lái)：5-2=3）

家長(zhǎng)：現(xiàn)在來(lái)說(shuō)一說(shuō)這里的5表示什么？2、3又表示什么呢？

… …

根據(jù)我的觀察，現(xiàn)在的孩子普遍缺乏數(shù)學(xué)建模思維。數(shù)學(xué)建模思維最直觀的一個(gè)應(yīng)用就是做應(yīng)用題。如果缺乏建模思維，孩子能讀懂應(yīng)用題的每一個(gè)字，但是就是不知道怎么來(lái)計(jì)算，哪怕是家長(zhǎng)苦口婆心的來(lái)引導(dǎo)解釋，以后該不理解，還照樣不理解。孩子缺乏這種思維能力可能是這方面鍛煉較少，也可能是數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)不夠?？傊蚴嵌喾矫娴牟⒉粌H僅是不理解應(yīng)用題這么簡(jiǎn)單。

加法的概念

尤其是年齡稍微小一點(diǎn)的小朋友，我們要從最簡(jiǎn)單的事物來(lái)培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)建模思維，比如說(shuō)下面的這個(gè)圖，原先有三個(gè)小朋友在澆花，后來(lái)又來(lái)了兩個(gè)小朋友，這一共是幾個(gè)小朋友？通過(guò)這件事，一是培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)抽象，把這些小朋友抽象成數(shù)字，另一個(gè)是將這兩波小朋友一起澆花，培養(yǎng)成一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系就是加法的關(guān)系，我自己的經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，孩子比較容易理解加法，但是對(duì)于減法需要我們更多的引導(dǎo)。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)上運(yùn)算是一種行為，通過(guò)已知量的可能的組合，獲得新的量。運(yùn)算的本質(zhì)是集合之間的映射。

小學(xué)階段孩子總要面臨各種各樣計(jì)算題。要得到計(jì)算結(jié)果首先要考慮運(yùn)用什么數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則和計(jì)算公式等等，因此充分理解和掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)是孩子能夠正確計(jì)算的前提。有些孩子在考試中計(jì)算題做錯(cuò)，并不是真正的不會(huì)算而是由于運(yùn)算定律或是運(yùn)算法則沒(méi)有弄清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)。只有把有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)講清楚，讓孩子真正掌握了，計(jì)算才不會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)。

推薦一本書(shū)吧：

《兒童數(shù)學(xué)教育叢書(shū)：發(fā)展兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力》

數(shù)學(xué)運(yùn)算還是需要一定的練習(xí)基礎(chǔ)的。也有研究認(rèn)為，孩子數(shù)學(xué)計(jì)算能力比較差的本質(zhì)原因是由于孩子缺乏數(shù)學(xué)思維或者是數(shù)學(xué)概念---就是我們前面提到的那兩個(gè)核心素養(yǎng)?？陀^的說(shuō)，運(yùn)算能力確實(shí)是一個(gè)相對(duì)比較上層的能力，這種能力的提高是依賴于數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模這兩種思維方式的。

孩子一開(kāi)始的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力可以通過(guò)具體的事物來(lái)進(jìn)行培養(yǎng)，這個(gè)過(guò)程要比直接使用抽象的數(shù)字在紙上進(jìn)行練習(xí)效果要好很多。因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程一方面可以增加孩子數(shù)學(xué)抽象能力，另一方面能夠逐漸的建立起來(lái)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)應(yīng)的具體事物。

運(yùn)算能力可以通過(guò)具體的事件來(lái)培養(yǎng)

5. 直觀想象

直觀想象是借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形來(lái)理解和解決問(wèn)題的素養(yǎng)。包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用幾何圖形描述問(wèn)題、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型探索解決問(wèn)題的思路。

直觀想象的能力，其實(shí)伴隨著孩子整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯，尤其是高考還會(huì)專門(mén)針對(duì)考生的直觀想象主題進(jìn)行考察，比如立方體，三角體的切面計(jì)算。這些立體幾何試題在解題過(guò)程中是需要考生運(yùn)用直觀想象的能力來(lái)解題的。

對(duì)更小的小朋友來(lái)說(shuō)，我們可以從更簡(jiǎn)單的圖形做起，比如下面這兩個(gè)小游戲，就可以培養(yǎng)孩子立體觀念，圖形觀念。

如果孩子以后學(xué)設(shè)計(jì)，比如機(jī)械制圖對(duì)這方面的能力要求是非常高的，當(dāng)時(shí)我們上大學(xué)的時(shí)候，有少數(shù)同學(xué)這門(mén)課就是考不及格，原因并不是由于他們不努力，而是因?yàn)樗麄儗?shí)在想象不出各種形狀的投影，所以本質(zhì)上還是缺乏直觀想象的能力。

再推薦一本書(shū)吧：

還原幾何概念、原理產(chǎn)生的實(shí)際情景

6. 數(shù)據(jù)分析

最后一個(gè)數(shù)學(xué)核心思維是數(shù)據(jù)分析。現(xiàn)在大數(shù)據(jù)的應(yīng)用離我們?cè)絹?lái)越近，我們打開(kāi)外賣軟件，我們能看到的各種受歡迎的食物都是大數(shù)據(jù)計(jì)算。對(duì)于我的專業(yè)來(lái)說(shuō)，有一個(gè)研究方向叫生物信息學(xué)，也是把生命的各種過(guò)程和現(xiàn)象抽象成數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、預(yù)測(cè)和分析。

但對(duì)于小朋友來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)分析能力，我覺(jué)得有三個(gè)步驟。和數(shù)學(xué)抽象非常類似：

第一個(gè)步驟就是分析具體的事物，例如比較一根棍子的長(zhǎng)短粗細(xì)一堆球的多少等等。

第二步就是對(duì)半抽象事物進(jìn)行分析，比如說(shuō)下面這個(gè)圖。

如果想讓孩子對(duì)下面這個(gè)圖能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，首先孩子應(yīng)該理解下圖，應(yīng)該明白這個(gè)彩色的柱子高低，表示的是數(shù)量的多少扇形的角度的大小，表示的數(shù)量和比例的多少，所表示的含義。

第三個(gè)步驟才是對(duì)于抽象的數(shù)字本身的分析能力。但這個(gè)能力在我看來(lái)并不急于讓孩子擁有，先把前兩個(gè)環(huán)節(jié)作為基礎(chǔ)打好才是根本。