1、算法的考量指標(biāo)
算法的考量指標(biāo)，我們是用時間、空間復(fù)雜度來衡量的。
時間復(fù)雜度的全稱是漸進(jìn)時間復(fù)雜度，表示算法的執(zhí)行時間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。
空間復(fù)雜度全稱就是漸進(jìn)空間復(fù)雜度，表示算法的存儲空間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。
2、為什么需要復(fù)雜度分析？
我把代碼跑一遍，通過統(tǒng)計、監(jiān)控，就能得到算法執(zhí)行的時間和占用的內(nèi)存大小
這種評估算法執(zhí)行效率的方法是正確的。很多數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫事后統(tǒng)計法。但是，這種統(tǒng)計方法有非常大的局限性。
1.測試結(jié)果非常依賴測試環(huán)境測試環(huán)境中硬件的不同會對測試結(jié)果有很大的影響
比如，我們拿同樣一段代碼，分別用Intel Core i9處理器和 Intel Core i3 處理器來運(yùn)行，不用說，i9 處理器要比 i3 處理器執(zhí)行的速度快很多。還有，比如原本在這臺機(jī)器上 a 代碼執(zhí)行的速度比 b 代碼要快，等我們換到另一臺機(jī)器上時，可能會有截然相反的結(jié)果。2.測試結(jié)果受數(shù)據(jù)規(guī)模的影響很大
后面我們會講排序算法，我們先拿它舉個例子。對同一個排序算法，待排序數(shù)據(jù)的有序度不一樣，排序的執(zhí)行時間就會有很大的差別。極端情況下，如果數(shù)據(jù)已經(jīng)是有序的，那排序算法不需要做任何操作，執(zhí)行時間就會非常短。除此之外，如果測試數(shù)據(jù)規(guī)模太小，測試結(jié)果可能無法真實地反應(yīng)算法的性能。比如，對于小規(guī)模的數(shù)據(jù)排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！所以，我們需要一個不用具體的測試數(shù)據(jù)來測試，就可以粗略地估計算法的執(zhí)行效率的方法。這就是我們今天要講的時間、空間復(fù)雜度分析方法。
3、大O表示法
大O表示法：算法的時間復(fù)雜度通常用大O符號表述，定義為T[n] = O(f(n))。稱函數(shù)T(n)以f(n)為界或者稱T(n)受限于f(n)。 如果一個問題的規(guī)模是n，解這一問題的某一算法所需要的時間為T(n)。T(n)稱為這一算法的“時間復(fù)雜度”。當(dāng)輸入量n逐漸加大時，時間復(fù)雜度的極限情形稱為算法的“漸近時間復(fù)雜度”。
#例1 int sum(int n) {
int result = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
result = result + i;
}
return result;
}
分析：假設(shè)每行代碼執(zhí)行的時間都一樣，為 unit_time。
第 2、3 行代碼分別需要 1 個 unit_time 的執(zhí)行時間，第 4、5 行都運(yùn)行了 n 遍，
所以需要 2n * unit_time 的執(zhí)行時間，所以這段代碼總的執(zhí)行時間就是 (2n+2) * unit_time。
可以看出來，所有代碼的執(zhí)行時間 T(n) 與每行代碼的執(zhí)行次數(shù)成正比。
再看看下面這個例子，同上面的分析方法，我們得出這段代碼總的執(zhí)行時間就是 (2n^2+2n+3)*unit_time。
例2：int sum(int n) {
int result = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
result = result + i * j;
}
}
}
把這個規(guī)律總結(jié)成一個公式:T(n) = O(f(n))
4、如何分析一段代碼的時間復(fù)雜度？
只關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的一段代碼
例子1中：其中第 2、3、 行代碼都是常量級的執(zhí)行時間，與 n 的大小無關(guān)，所以對于復(fù)雜度并沒有影響。
4、5行代碼循環(huán)執(zhí)行，與 n 的大小無關(guān)，次數(shù)最多的是第4、5行代碼，所以這塊代碼要重點(diǎn)分析。前面我們也講過，這兩行代碼被執(zhí)行了 n 次，所以總的時間復(fù)雜度就是 O(n)。
例子2中時間復(fù)雜度為：O(n^2)加法法則：總復(fù)雜度等于量級最大的那段代碼的復(fù)雜度
例3：int sum(int n) {
int result_1 = 0;
int x = 1;
for (; x < 1000; ++x) {
result_1 = result_1 + x;
}
int result_2 = 0;
int y = 1;
for (; y < n; ++y) {
result_2 = result_2 + y;
}
int result_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
result_3 = result_3 + i * j;
}
}
return result_1 + result_2 + result_3;
}
這個例子分三部分：求result_1、result_2、result_3。
第一部分跟n沒關(guān)系：屬于常量階，我們表示為0(1)
第二部分：O(n)
第三部分為：O(n^2)
所以整個sum函數(shù)的時間復(fù)雜度為：T(n)=O(1)+T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n)))=max(O(n),O(n^2)) = n^2
-
乘法法則：嵌套代碼的復(fù)雜度等于嵌套內(nèi)外代碼復(fù)雜度的乘積
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n)),
那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是說，假設(shè) T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則 T1(n) * T2(n) = O(n3)
例4： int sum1(int n) {
int result = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
result = sum(i) + i;
}
return result;
}
int sum(int n) {
int result = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
result = result + i * j;
}
}
}
5、常見時間復(fù)雜度分析
- O(m+n)、O(mn)
代碼的復(fù)雜度由兩個數(shù)據(jù)的規(guī)模來決定，如例5：m 和 n 是表示兩個數(shù)據(jù)規(guī)模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示復(fù)雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。所以，上面代碼的時間復(fù)雜度就是 O(m+n)。針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規(guī)則改為：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續(xù)有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) * f(n))。
例5: int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
6、空間復(fù)雜度
空間復(fù)雜度比較簡單，空間復(fù)雜度(Space Complexity)是對一個算法在運(yùn)行過程中臨時占用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))?？匆粋€例子。
例6: int sum(int n) {
int result = 0;
int[] a = new int[n]; // 開辟了新的存儲空間
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
result +=a[i];
}
return result;
}
除了第三行申請了一個大小為 n 的 int 類型數(shù)組，除此之外，剩下的代碼都沒有占用更多的空間，所以整段代碼的空間復(fù)雜度就是 O(n)。
我們常見的空間復(fù)雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2)，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數(shù)階復(fù)雜度平時都用不到。而且，空間復(fù)雜度分析比時間復(fù)雜度分析要簡單很多。所以，對于空間復(fù)雜度，掌握剛我說的這些內(nèi)容已經(jīng)足夠了。
